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quinta-feira, 4 de fevereiro de 2010

Grandezas Escalares e Vetoriais

Física B - Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Física tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza física escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, $50 \; kg$), a temperatura (por exemplo $36 \; {}^o C$), o volume ($5 \; m^3$, por exemplo), a densidade (para a água, $1000 \; kg/m^3$), a pressão ( ${10}^5 \; N/m^2$), a energia (por exemplo $100 \; J$) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por exemplo, um carro a $80 \; km/h$), constatamos que apenas essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial.

Para uma grandeza física vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, $\vec{v}$) e o módulo ou intensidade, por $\vert\vec{v} \vert$ ou simplesmente por $v$.

A grandeza física vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é denominada vetor.

No exemplo anterior do carro, poderíamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade $\vec{v}$, de módulo $v = 80 \; km/h$, na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantânea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 7.1.

Figura 7.1: Exemplo de representação vetorial
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/carro.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 7.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa.

Para melhor entendermos o significado e a representação de um vetor, observe a figura 7.3.

Figura 7.2: A reta $s$, que contém o vetor, indica a direção e a seta indica o sentido
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor1.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Figura 7.3: Representação de algums vetores
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor2.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Na figura de cima os vetores representados possuem mesma direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que não garante que tenham o mesmo sentido.

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus módulos. Observe:

Figura 7.4: De acordo com a convenção adotada, o módulo do vetor será $d=a+b-c$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor3.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Os vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ possuem a mesma direção (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são positivos e o vetor $\vec{c}$ é negativo. O módulo do vetor soma, $\vec{d}$, é dado por

\begin{displaymath} d = a+b-c \end{displaymath}

Se obtermos um valor positivo para $\vec{d}$, isso significa que seu sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é horizontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto $A$ e sofre um deslocamento $\vec{d_1}$ no sentido leste, atingindo um ponto $B$ e, em seguida, um deslocamento $\vec{d_2}$ no sentido norte, atingindo um ponto $C$ (veja a figura 7.5)

Figura: O deslocamento $\vec{d}$ = $\vec{d_1}$ + $\vec{d_2}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor4.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Podemos notar facilmente que o deslocamento $\vec{d_1}$, de $A$ para $B$, e o $\vec{d_2}$, de $B$ para $C$, equivalem a um único deslocamento, $\vec{d}$, de $A$ para $C$. Desta forma, o deslocamento $\vec{d}$ é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$, ou seja,

\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}

Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 7.6.

Figura: O vetor $\vec{c}$ é a resultante ou soma vetorial de $\vec{a}$ e $\vec{b}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor5.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ tem como vetor soma resultante o vetor $\vec{c}$. É crucial notar que a colocação do vetor $\vec{b}$ na origem ou na extremidade do vetor $\vec{a}$ não altera o vetor soma $\vec{c}$. Deve-se observar que os vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ formam um triângulo retângulo, em que $\vec{c}$ é a hipotenusa $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são catetos. Para obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitágoras:

\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 \end{displaymath}

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções quaiaquer não apresenta muita diferença. Para um móvel, partir de $A$ e atingir $B$ num deslocamento $\vec{d_1}$ e, em seguida, atingir $C$ num deslocamento $\vec{d_2}$ equivale a partir de $A$ e atingir $C$ num deslocamento $\vec{d}$ (veja figura 7.7). Desta forma,

\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}

Figura: O deslocamento $\vec{d}$ equivale aos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor6.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Na determinação do módulo do vetor $\vec{d}$ resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que o ângulo entre $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ não é reto (${90}^o$). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 7.8.

Figura: A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor7.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante $\vec{c}$. De acordo com a regra do paralelogramo, se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam entre si um ângulo $\alpha$, o módulo do vetor resultante $\vec{c}$ será dado pela expressão:

\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 + 2 a b \cdot cos \; \alpha \end{displaymath}

Decomposição de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor $\vec{a}$, obtêm-se outros dois vetores $\vec{a_x }$ e $\vec{a}_y$ tal que $\vec{a_x } + \vec{a_y } = \vec{ a} $ (veja a figura 7.9).

Figura: O vetor $\vec{a}$, sua componente horizontal $\vec{a}_x$ e vertical $\vec{a}_y$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor8.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Figura: O vetor $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor9.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

O vetor $\vec{a}_y$ pode ser deslocado para a extremidade do vetor $\vec{a}_x$ de tal forma que o vetor $\vec{a}$ e seus vetores componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ formem um triângulo retângulo (figura 7.10). Aplicando a trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes $\vec{a}_x$ (horizontal) e $\vec{a}_y$ (vertical) de $\vec{a}$ em função do ângulo $\alpha$. Desta forma, no triângulo rachurado da figura 7.10, temos

\begin{displaymath}\cos\alpha = \frac{\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \cos\alpha = \frac{a_x}{a}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{a}_x = a \cdot cos \; \alpha\end{displaymath}

onde $a_x$ é o módulo da componente horizontal $\vec{a}_x$ do vetor $\vec{a}$. Temos ainda
\begin{displaymath}\sin\alpha = \frac{\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \sin \; \alpha = \frac{ \vec{a}_y}{a}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{a}_y = a \cdot \sin\alpha\end{displaymath}

onde $a_y$ é o módulo da componente vertical $\vec{a}_y$ do vetor $\vec{a}$.

Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$:

\begin{displaymath} a^2 = {a^2}_x + {a^2}_y \end{displaymath}

Pense um Pouco!

  • Qual a condição para que a soma de dois vetores seja nula?
  • O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma de seus módulos? Quando?
  • O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê?

Exercícios de Aplicação


1. Um móvel desloca-se $120 \; m$ no sentido oeste-leste, e em seguida, $50 \; m$ no sentido norte-sul.
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.
b) Determine o módulo do deslocamento resultante.


2. Na figura, $F_1 = F_2 = 100 \; N$. Determine o módulo da resultante de $F_1$ e $F_2$. (Dado: $cos \; {120}^o$ = -0,50.)

\epsfig{file=fb/03/vetor10.eps,width=150pt}


3. Um projétil é atirado com velocidade de $400 \; m/s$ fazendo um ângulo de $45^\circ$ com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.

Exercícios Complementares


4. Na figura abaixo estão representadas duas forças: $\vec{F_1}$, de módulo $F_1 = 5,0 \; N$ e $\vec{F_2}$, de módulo $F_2 = 3,0 \; N$, formando entre si um ângulo $\alpha = 60^\circ$. Determine a força resultante $\vec{F}_R$ para o sistema de forças mostrado.

\epsfig{file=fb/03/vetor11.eps,height=0.666\linewidth}


5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é $10 \; m/s$ e que um dos componentes tem módulo igual a $8 \; m/s$, determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente.


6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma ${53}^o$ com a horizontal com uma velocidade de $200 \; m/s$ (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, $\vec{v_x}$, e vertical, $\vec{v_y}$, dessa velocidade. (Dados: $sen \; {53}^o = 0,80; \; cos \; {53}^o = 0,60.$)

\epsfig{file=fb/03/vetor12.eps,width=150pt}


7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade de $900 \; km/h$. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade $50 \; km/h$, no sentido sudoeste-nordeste.
a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do avião e do vento.
b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dados: $cos \; {45}^o = 0,71$).

Fonte: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node9.html

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