O tamanho do infinito

Matemática

O tamanho do infinito
Descubra fatos e propriedades surpreendentes sobre os conjuntos que não têm fim!

1,2,3... Estes são os números naturais, nesta ordem. Cada um dos naturais tem um único sucessor, obtido quando a ele somamos o 1. Os naturais podem ser pensados como símbolos que representam certas quantidades. Foram e serão sempre necessários para se contar objetos.

Contar um conjunto de objetos é associar a cada um deles um número natural, começando do 1 e indo na seqüência crescente. Isso significa que estamos pondo em cada objeto uma etiqueta identificadora. Ou então podemos pensar que estamos vestindo os objetos com camisetas numeradas, uma para cada objeto diferente. Quando acabamos de fazer isso, ou seja, quando acabamos de contar, o número na camiseta do último objeto é a quantidade de elementos -- ou de objetos -- do conjunto.

O maior de todos os números, para uma criança, pode ser 100, 1000 ou 10.000.000.000.000. Mas, se nos perguntarmos seriamente sobre o maior número natural, não será difícil perceber que ele não existe. Imaginemos que de fato ele exista e que tenha um nome. Vamos chamá-lo de "longínquo". Ora, se cada número é sempre seguido por um sucessor, depois do "longínquo" virá "longínquo" + 1, que irá roubar de "longínquo" a qualidade de último e maior de todos os números.

Assim, os números naturais são um exemplo de um conjunto infinito, ou seja, que não tem fim, não acaba nunca. O símbolo do infinito (um "oito deitado") representa esta idéia de algo a que nunca se chega.

Experimente perguntar a seus amigos o que é infinito e peça exemplos de conjuntos infinitos. Você vai ouvir que são infinitos os grãos de areia na praia, ou o número de gotas no oceano, ou de estrelas no céu. Analisando esses exemplos, podemos entender melhor o que é infinito.

Serão infinitos os grãos de areia da praia de Copacabana? Não sei. Vamos contar. Para isso, temos que ir à praia munidos de uma caixinha de fósforos vazia. Depois, temos que olhar bem a paisagem, calculando aproximadamente as muitas medidas do lugar. O comprimento da orla é de cerca de 5 quilômetros e a extensão da faixa de areia é de mais ou menos 50 metros. Vamos dizer também que a profundidade da camada de areia seja de 100 metros.

Acabado o passeio, voltamos para casa, sem esquecer de encher a caixa de fósforos com areia da praia. Mas faça isso sem apertar os grãos. Limpamos uma mesa bem grande e jogamos sobre ela o conteúdo da caixa de fósforos, espalhando o melhor possível os grãos. A idéia é a de que, sobre a mesa, fique uma camada de areia com uma área calculável e a espessura de apenas um grão.

Depois de estimar a área da camada espalhada, separamos um quadrado de 1 centímetro de lado e contamos, nele, todos os grãos de areia, com a ajuda de uma lupa e um estilete. Isso vai dar um trabalhão, mas depois fica mais fácil. Basta multiplicar a quantidade de areia contada pela área da camada de areia e, depois, pelo volume estimado da praia de Copacabana, mantendo a coerência entre as unidades métricas. Se contarmos 10 milhões de grãos na caixa de fósforos, que deve ter um volume de 10 cm3, obteremos um total de.

Ou seja, chegamos à ordem de grandeza de 1020 grãos de areia. Pronto. Este é um número finito, que pode até ser escrito num pequeno pedaço de papel.

O artigo acima foi originalmente publicado em
Ciência Hoje na Escola volume 8 - Matemática.