Elipse

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF₁ + PF₂ = 2 a
Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF₁ + PF₂ = 2.a



onde o eixo A₁A₂ de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B₁B₂ de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:


Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a² – c² = b² , a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² + a².y² = a².b²
Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:



que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como a² – c² = b² , é válido que: a² - b² = c², onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser: