PG - Progressão Geométrica

P.G representada em uma função gráfica.

Progressão Geométrica

Observe a seqüência:
( 3, 6, 12, 24, 48, ... )
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa seqüência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2:

a₂ : a₁ = 6 : 3 = 2
a₄ : a₃ = 24 : 12 = 2
a₅ : a₄ = 48 : 24 = 2

Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:

• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3
• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3


TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos agora encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma P.G conhecendo apenas o primeiro termo (a₁) e a razão (q).
Isso é possível graças à lei de formação específica da P.G.:
Seja ( a₁, a₂, a₃, ... , a_n) uma P.G de razão q. Temos:

a₂ : a₁ = q → a₂ = a₁ . q

a₃ : a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q²

a₄ : a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q³
. . .
. . .
. . .
Seguindo chegaremos ao termo a_n, que ocupa a n-ésimo posição da P.G. Dada pela expressão:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.G..
Exemplo:

Vamos determinar o 10º termo da P.G ( , 1, 3, 9, ... ):
Sabendo que a₁ = 1 e que q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral da P.G, podemos escrever:
a10 = a₁ . q⁹ → a₁₀ = 1 . 3⁹ → a₁₀ = 19683

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G

Para somarmos os elementos de uma P.G, considere a seqüência como uma P.G (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) de razão q ≠ 1.

Somando todos os termos dessa P.G:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n (I)
Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q, e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., vem:

q . S_n = q (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_{n - 1} + a_n) = a₁ . q + a₂ . q + a₃ . q + … + a_n-1 . q + a_n .

q . S_n = a₂ + a₃ + a₄ + … + a_n + a_n .q (II)

Fazendo (II) – (I), temos:
q . S_n – S_n = ( a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n + a_n . q) - (a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n)
S_n . (q – 1) = a_n . q – a₁
Como a_n = a₁ . q^{n – 1} , vem:
S_n . (q – 1 ) = a₁ q^{n – 1} . q - a₁, isto é,

Por: Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola