Piadas Matemáticas

O estudante, cansado de assistir aulas de Matemática, levanta a mão e confronta o professor:
- Eu acho que a gente nunca vai usar essas coisas na vida real.
O professor sorri e responde:
- É verdade, especialmente se a sua vida real não for nada mais que servir café na lanchonete.

Geometria Analítica: Circunferência Condições de tangência entre reta e circunferência Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos: a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Geometria Analítica: Circunferência
Fonte:http://www.somatematica.com.br/
   

Condições de tangência entre reta e circunferência
   Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
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Posição de uma reta em relação a uma circunferência
   Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação
 ( x - a)² + ( y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e :

    Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)² + ( y - b )² = r², temos:

Assim:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
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   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

• os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
• não deve existir o termo xy.

   Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.

   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

• 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

• 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

• 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16

• 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

   Em relação à circunferência de equação ( x - a )² + ( y - b )² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência

    Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )² + ( y - b )² - r²:

• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² =    0, então P pertence à circunferência;
• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² < 0, então P é interior à circunferência.

Circunferência

Geometria Analítica: Circunferência
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Equações da circunferência
Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d_CP) é o raio dessa circunferência. Então:

    Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .

Equação geral

   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

   A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16

   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Circunferência

FATORAÇÃO

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Raffaele Bombelli  

 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm25/bombelli.htm







Platão 

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Curiosidade sobre o numero 7

O porque do traço no número 7

Até os dias de hoje, muita gente, quando escreve o numero 7, ainda coloca um pequeno tracinho no número. Oficialmente, este pequeno traço não existe, como dá para constatar, digitando a tecla 7 do teclado do seu computador, calculadora ou qualquer outro aparelho que possua teclado.

Vocês sabem a origem deste costume?

Para responder, temos que voltar muitos séculos atrás, aos tempos bíblicos, quando Moisés estava no Monte Sinai e lhe foram ditados os 10 mandamentos. Em voz alta, ele foi anunciando à multidão, um por um.

Quando chegou no Sétimo Mandamento, Moisés disse:

_ Não desejarás a mulher do próximo…!

Um breve silêncio… E a multidão rompeu, gritando:

_ Risca o sete… risca o sete…! huahauhauahuahuahua

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Agora sem piadinha…  A origem verdadeira é por causa da quantidade de ângulos. Os chamados números arábicos foram na verdade inventados pelos fenícios, mas os árabes que popularizaram eles.  Todos os números arábicos têm relação com a quantidade de ângulos que eles representam.

Update:

Agora eu entendi a explicação acima. Veja a imagem e entenda-a:

O número corresponde com a quantidade de ângulos… sakou?

Fonte : http://www.insoonia.com/o-porque-do-traco-no-numero-7/

RAZÕES E PROPORÇÕES

Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.

Exemplificando: Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.

Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2. Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2”? A tabelinha abaixo pode nos ajudar: Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina. As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19. Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 ) A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.

Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios Isto é: 950 x 2 = 380 x 5 E a fração, como é que fica nessa historinha? Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números. Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos. A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.

Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos. Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2 Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições: Fração é uma divisão entre dois números Razão é uma comparação entre duas grandezas Proporção é a igualdade entre duas razões

Fonte : http://matematicamania.wordpress.com/category/razao-e-proporcao/