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quinta-feira, 4 de fevereiro de 2010

Grandezas Escalares e Vetoriais

Física B - Aula 3

Grandezas Escalares e Vetoriais

Na Física tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares

A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada quando conhecemos apenas sua intensidade acompanhada pela correspondente unidade de medida. Como exemplos de grandeza física escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, $50 \; kg$), a temperatura (por exemplo $36 \; {}^o C$), o volume ($5 \; m^3$, por exemplo), a densidade (para a água, $1000 \; kg/m^3$), a pressão ( ${10}^5 \; N/m^2$), a energia (por exemplo $100 \; J$) e muitas outras.

Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.

Grandezas Vetoriais

Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por exemplo, um carro a $80 \; km/h$), constatamos que apenas essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma grandeza vetorial.

Para uma grandeza física vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, $\vec{v}$) e o módulo ou intensidade, por $\vert\vec{v} \vert$ ou simplesmente por $v$.

A grandeza física vetorial pode ser representada graficamente por um segmento de reta (indicando a direção da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é denominada vetor.

No exemplo anterior do carro, poderíamos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade $\vec{v}$, de módulo $v = 80 \; km/h$, na direção norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instantânea pode ser representada por um vetor, como mostra a figura 7.1.

Figura 7.1: Exemplo de representação vetorial
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/carro.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 7.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que representa.

Para melhor entendermos o significado e a representação de um vetor, observe a figura 7.3.

Figura 7.2: A reta $s$, que contém o vetor, indica a direção e a seta indica o sentido
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor1.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Figura 7.3: Representação de algums vetores
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor2.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Na figura de cima os vetores representados possuem mesma direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que não garante que tenham o mesmo sentido.

Soma de Vetores Paralelos

Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus módulos. Observe:

Figura 7.4: De acordo com a convenção adotada, o módulo do vetor será $d=a+b-c$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor3.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Os vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ possuem a mesma direção (horizontal). Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita. Assim, os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são positivos e o vetor $\vec{c}$ é negativo. O módulo do vetor soma, $\vec{d}$, é dado por

\begin{displaymath} d = a+b-c \end{displaymath}

Se obtermos um valor positivo para $\vec{d}$, isso significa que seu sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita; se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é horizontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares

Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto $A$ e sofre um deslocamento $\vec{d_1}$ no sentido leste, atingindo um ponto $B$ e, em seguida, um deslocamento $\vec{d_2}$ no sentido norte, atingindo um ponto $C$ (veja a figura 7.5)

Figura: O deslocamento $\vec{d}$ = $\vec{d_1}$ + $\vec{d_2}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor4.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Podemos notar facilmente que o deslocamento $\vec{d_1}$, de $A$ para $B$, e o $\vec{d_2}$, de $B$ para $C$, equivalem a um único deslocamento, $\vec{d}$, de $A$ para $C$. Desta forma, o deslocamento $\vec{d}$ é a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$, ou seja,

\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}

Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial. Veja a figura 7.6.

Figura: O vetor $\vec{c}$ é a resultante ou soma vetorial de $\vec{a}$ e $\vec{b}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor5.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ tem como vetor soma resultante o vetor $\vec{c}$. É crucial notar que a colocação do vetor $\vec{b}$ na origem ou na extremidade do vetor $\vec{a}$ não altera o vetor soma $\vec{c}$. Deve-se observar que os vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ formam um triângulo retângulo, em que $\vec{c}$ é a hipotenusa $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são catetos. Para obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pitágoras:

\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 \end{displaymath}

Soma de Vetores

A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções quaiaquer não apresenta muita diferença. Para um móvel, partir de $A$ e atingir $B$ num deslocamento $\vec{d_1}$ e, em seguida, atingir $C$ num deslocamento $\vec{d_2}$ equivale a partir de $A$ e atingir $C$ num deslocamento $\vec{d}$ (veja figura 7.7). Desta forma,

\begin{displaymath} \vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} \end{displaymath}

Figura: O deslocamento $\vec{d}$ equivale aos deslocamentos $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor6.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Na determinação do módulo do vetor $\vec{d}$ resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que o ângulo entre $\vec{d_1}$ e $\vec{d_2}$ não é reto (${90}^o$). Assim, aplicamos a regra do paralelogramo, como mostra a figura 7.8.

Figura: A diagonal do paralelogramo, cujos lados são os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor7.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam um paralelogramo cuja diagonal é o vetor resultante $\vec{c}$. De acordo com a regra do paralelogramo, se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ formam entre si um ângulo $\alpha$, o módulo do vetor resultante $\vec{c}$ será dado pela expressão:

\begin{displaymath} c^2 = a^2 + b^2 + 2 a b \cdot cos \; \alpha \end{displaymath}

Decomposição de Vetores

Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso. Dado um vetor $\vec{a}$, obtêm-se outros dois vetores $\vec{a_x }$ e $\vec{a}_y$ tal que $\vec{a_x } + \vec{a_y } = \vec{ a} $ (veja a figura 7.9).

Figura: O vetor $\vec{a}$, sua componente horizontal $\vec{a}_x$ e vertical $\vec{a}_y$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor8.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

Figura: O vetor $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$.
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=fb/03/vetor9.eps,width=150pt} \end{center} \end{figure}

O vetor $\vec{a}_y$ pode ser deslocado para a extremidade do vetor $\vec{a}_x$ de tal forma que o vetor $\vec{a}$ e seus vetores componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$ formem um triângulo retângulo (figura 7.10). Aplicando a trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes $\vec{a}_x$ (horizontal) e $\vec{a}_y$ (vertical) de $\vec{a}$ em função do ângulo $\alpha$. Desta forma, no triângulo rachurado da figura 7.10, temos

\begin{displaymath}\cos\alpha = \frac{\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \cos\alpha = \frac{a_x}{a}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{a}_x = a \cdot cos \; \alpha\end{displaymath}

onde $a_x$ é o módulo da componente horizontal $\vec{a}_x$ do vetor $\vec{a}$. Temos ainda
\begin{displaymath}\sin\alpha = \frac{\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}} \Rightarrow \; \; \sin \; \alpha = \frac{ \vec{a}_y}{a}\end{displaymath}


\begin{displaymath}{a}_y = a \cdot \sin\alpha\end{displaymath}

onde $a_y$ é o módulo da componente vertical $\vec{a}_y$ do vetor $\vec{a}$.

Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo formado por $\vec{a}$ e seus componentes $\vec{a}_x$ e $\vec{a}_y$:

\begin{displaymath} a^2 = {a^2}_x + {a^2}_y \end{displaymath}

Pense um Pouco!

  • Qual a condição para que a soma de dois vetores seja nula?
  • O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à soma de seus módulos? Quando?
  • O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê?

Exercícios de Aplicação


1. Um móvel desloca-se $120 \; m$ no sentido oeste-leste, e em seguida, $50 \; m$ no sentido norte-sul.
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.
b) Determine o módulo do deslocamento resultante.


2. Na figura, $F_1 = F_2 = 100 \; N$. Determine o módulo da resultante de $F_1$ e $F_2$. (Dado: $cos \; {120}^o$ = -0,50.)

\epsfig{file=fb/03/vetor10.eps,width=150pt}


3. Um projétil é atirado com velocidade de $400 \; m/s$ fazendo um ângulo de $45^\circ$ com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.

Exercícios Complementares


4. Na figura abaixo estão representadas duas forças: $\vec{F_1}$, de módulo $F_1 = 5,0 \; N$ e $\vec{F_2}$, de módulo $F_2 = 3,0 \; N$, formando entre si um ângulo $\alpha = 60^\circ$. Determine a força resultante $\vec{F}_R$ para o sistema de forças mostrado.

\epsfig{file=fb/03/vetor11.eps,height=0.666\linewidth}


5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é $10 \; m/s$ e que um dos componentes tem módulo igual a $8 \; m/s$, determine o módulo do vetor correspondente ao outro componente.


6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma ${53}^o$ com a horizontal com uma velocidade de $200 \; m/s$ (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, $\vec{v_x}$, e vertical, $\vec{v_y}$, dessa velocidade. (Dados: $sen \; {53}^o = 0,80; \; cos \; {53}^o = 0,60.$)

\epsfig{file=fb/03/vetor12.eps,width=150pt}


7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade de $900 \; km/h$. Num determinado instante passa a soprar um forte vento com velocidade $50 \; km/h$, no sentido sudoeste-nordeste.
a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do avião e do vento.
b) Determine o módulo da velocidade resultante. (Dados: $cos \; {45}^o = 0,71$).

Fonte: http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node9.html

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Setor circular

Setor circular corresponde a uma área tomada numa circunferência de centro O e raio R, observe a figura representativa de um setor de α:

A área do setor circular depende diretamente da medida do ângulo central, em razão dessa proporção podemos calcular a área de um setor circular em função do ângulo central aplicando uma regra de três simples. Observe:

Área Ângulo Central

Setor

A

α

Círculo

π*r²

360º





Se a medida do setor for dada em radianos, é preciso lembrar que uma volta completa no círculo é igual a 360º que corresponde a 2π. Dessa forma, a regra de três fica assim:




Exemplo:

Determine a área do setor circular com ângulo central de 30º num círculo de 20 cm de raio.

A área do setor circular de 30º corresponde a um setor de π/6 rad, observe os cálculos:

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Os sólidos de Platão

Os sólidos de Platão também são denominados de poliedros, pois são formados por faces, arestas e vértices. As faces são constituídas por seções de planos, considerando que entre duas faces temos as arestas, as quais possuem em suas extremidades os vértices.
Platão foi um filósofo grego, que viveu entre os séculos V e IV a.C., e estabeleceu importantes propriedades em alguns poliedros. Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições:

O número de arestas é igual em todas as faces;
Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;
Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler (V – A + F = 2) onde V = vértices, A = arestas e F = faces.

O prisma a seguir pode ser considerado um Poliedro da Platão, pois se encaixa nas condições descritas anteriormente.

As seis faces do sólido são quadriláteros, isto é, são formadas por quatro arestas.
Os ângulos são triédricos, pois todos são formados por três arestas.
A relação de Euler pode ser aplicada, observe:
O sólido possui oito vértices, seis faces e 12 arestas:
V – A + F = 2
8 – 12 + 6 = 2
14 – 12 = 2
2 = 2 (verdadeiro)

Os poliedros de Platão são classificados em cinco classes de acordo com a tabela a seguir:



Platão estabeleceu algumas relações entre as classes de poliedros e a construção do Universo. Ele associou os poliedros cubo, icosaedro, tetraedro e octaedro, respectivamente, aos elementos terra, água, fogo e ar; e o dodecaedro foi associado ao universo. Conheça os poliedros de Platão:

Por Marcos Noé
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