PG - Progressão Geométrica

P.G representada em uma função gráfica.

Progressão Geométrica

Observe a seqüência:
( 3, 6, 12, 24, 48, ... )
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa seqüência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2:

a₂ : a₁ = 6 : 3 = 2
a₄ : a₃ = 24 : 12 = 2
a₅ : a₄ = 48 : 24 = 2

Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:

• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3
• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3


TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos agora encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma P.G conhecendo apenas o primeiro termo (a₁) e a razão (q).
Isso é possível graças à lei de formação específica da P.G.:
Seja ( a₁, a₂, a₃, ... , a_n) uma P.G de razão q. Temos:

a₂ : a₁ = q → a₂ = a₁ . q

a₃ : a₂ = q → a₃ = a₂ . q → a₃ = a₁ . q²

a₄ : a₃ = q → a₄ = a₃ . q → a₄ = a₁ . q³
. . .
. . .
. . .
Seguindo chegaremos ao termo a_n, que ocupa a n-ésimo posição da P.G. Dada pela expressão:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.G..
Exemplo:

Vamos determinar o 10º termo da P.G ( , 1, 3, 9, ... ):
Sabendo que a₁ = 1 e que q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral da P.G, podemos escrever:
a10 = a₁ . q⁹ → a₁₀ = 1 . 3⁹ → a₁₀ = 19683

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G

Para somarmos os elementos de uma P.G, considere a seqüência como uma P.G (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) de razão q ≠ 1.

Somando todos os termos dessa P.G:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n (I)
Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q, e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., vem:

q . S_n = q (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_{n - 1} + a_n) = a₁ . q + a₂ . q + a₃ . q + … + a_n-1 . q + a_n .

q . S_n = a₂ + a₃ + a₄ + … + a_n + a_n .q (II)

Fazendo (II) – (I), temos:
q . S_n – S_n = ( a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n + a_n . q) - (a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n)
S_n . (q – 1) = a_n . q – a₁
Como a_n = a₁ . q^{n – 1} , vem:
S_n . (q – 1 ) = a₁ q^{n – 1} . q - a₁, isto é,

Por: Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Logaritmos

Logaritmos

1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras.

Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos.

Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 4² = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log₄16 = 2.

Outros exemplos:
15² = 225, logo: log₁₅225 = 2
6³ = 216, logo: log₆216 = 3
5⁴ = 625, logo: log₅625 = 4
7⁰ = 1, logo: log₇1 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:

a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9.
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional

e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,

log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de

logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:

a) log100 = 2 porque 10² = 100.
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183...
f) ln 7 = log_e7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que

10^1,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
log_b1 = 0 porque b⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .

P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então

10^-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos:

a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)

b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)

c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.

Notas:

1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:

a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).

b) log_ba . log_ab = 1

Exemplos:

a) log₃7 . log₇3 = 1

b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = a^x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, a^x é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R₊^* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R₊^* ; y = a^x , 0 <>¹ 1

Esta função é bijetora, pois:

a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.

b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = a^x , onde 0 <>¹ 1.
Permutando x por y, vem:

x = a^y \ y = log_ax

Portanto, a função logarítmica é então:

f: R₊^* ® R ; y = log_ax , 0 <>¹ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = a^x ) e logarítmica

( y = log_ax ), para os casos a > 1 e 0 <>¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

---

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.

2 - para 0 <>¹ 1, elas são DECRESCENTES.

3 - o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .

4 - o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.

5 - o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.

6 - o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .

7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1 - Se S é a soma das raízes da equação log² x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor
de 1073 - 10S.

SOLUÇÃO:
Façamos logx = y; vem:
y² - y - 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,

logx = 2 OU logx = -1

Como a base é igual a 10, teremos:

log₁₀x = 2 \ x = 10² = 100

log₁₀x = -1 \ x = 10^-1 = 1/10

As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.

Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 - 10S será:
1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
Resposta: 72

2 - Calcule o valor de y = 6^x onde x = log₃2 . log₆3 .

SOLUÇÃO:

Substituindo o valor de x, vem:

y = 6^log₃^{2 . log}₆³ = (6^log₆³)^log₃² = 3^log₃² = 2

Na solução acima, empregamos a propriedade b^log_b^M = M , vista anteriormente.

Resposta: 2

3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 5²⁰ é:
a) 13
b) 14
c) 19
d) 20
e) 27

SOLUÇÃO:
Seja n = 5²⁰ . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 5²⁰ = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 - UFBA - Considere a equação 10^{x + 0,4658} = 368. Sabendo-se que
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO:
Temos: 10^{x + 0,4658} = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658 \ x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 \ log 368 - 2 = 0,5658 , já que
log 100 = 2 (pois 10² = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resposta: 21

5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
logN = 2 + log2 - log3 - log5²
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)

Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resposta: 30N = 80

Agora, resolva estes:

1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 5³ . , então o logx é:
*a) 2,997
b) 3,398
c) 3,633
d) 4,398
e) 5,097

2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x² -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7
*03) 10
04) 14
05) 35

3 - UCSal - Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:
a) -2
*b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 2

4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4)
b) (-4,3/2)
c) (-4,2)
*d) (3/2,4)
e) (3/2,10)

5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log₂ (x-3) + log₂ (x-2) = 1.
Resp: 4

6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90

7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2
b) 4/3
c) 2
d)5
*e) 5/2

8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x² - y² ) é igual a:
a) 100
*b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 1000
Sugestão: observe que x² - y² = (x - y) (x + y)

Progressão Aritmética, PA

Matemática Por Paulo Marques

1 - Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a₁, a₂, a₃, ... , a_k, ... , a_n, ...) onde a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo termo, ... , a_k é o k-ésimo termo, ... , a_n é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a₃ = 18, a₅ = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por a_n = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo a_n (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
a_n = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a₂₀) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral a_n = n² + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:
a₆ = 70 porque a₆ = 6² + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a₂ = a₁ + 1.r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r
.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. a_n = a₁ + (n – 1) . r
A expressão a_n = a₁ + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que a_n é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a₁ é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a₁= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a₁₀₀₀. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a₁₀₀₀ = a₁ + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a₁ = 100, r = 98 -100 = - 2 e a_n = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo a_j o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e a_k o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
a_j = a_k + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a₅ = 30 e a₂₀ = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a₂₀ = a₅ + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a₂₀ = 8.
Logo, o termo procurado será: a₃ = a₂₀ + (3 – 20).5
a₃ = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n).
A soma dos n primeiros termos S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
S_n = a_n + a_n-1 + ... + a₃ + a₂ + a₁

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n + a₁)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a₁ + a_n ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.S_n = (a₁ + a_n).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a₂₀₀ .
Mas, a₂₀₀ = a₁ + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, S_n = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5

SOLUÇÃO:
Temos: a₁ = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo a_n:
a_n = a₁ + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
a_n = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
S_n = (a₁ + a_n). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
S_n = (16n – 2n²) / 10

Ora, nós queremos que a soma S_n seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n²) / 10 <>

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n² <>

Portanto, n(16 – 2n ) <> 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x² - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33

SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x² – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x² – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x² + 2x = 0
3x + 4 – x² = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x² – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x² – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60

SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1

SOLUÇÃO:
Temos: a₁ = 1 e a_n + n = 2, onde a_n é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a₂ + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a₂ = 0.
Daí, r = a₂ – a₁ = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376

SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral a_n = a₁ + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
S_n = S₁₁₂ = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resp: 965

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a₃ + a₇ = 30
a₄ + a₉ = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a₁ + 2r + a₁ + 6r = 30 ou 2.a₁ + 8r = 30
a₁ + 3r + a₁ + 8r = 60 ou 2.a₁ + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a₁ + 8.10 = 30, de onde tiramos a₁ = - 25.

Logo, o centésimo termo será:
a₁₀₀ = a₁ + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Agora resolva estes:

UFBA - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo a₂₂ = k,
determine 10^{k + r} : 3²⁰.
Resposta: 36

Determine três números em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados seja 83.
Resposta: 3, 5 e 7.

Funções

Matemática Por Paulo Marques

1 - Definição

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por

f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A ,
um único elemento de B .

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.

Exemplos:

f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .

Quando D(f) (domínio) Ì R e CD(f)(contradomínio) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R^* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R^* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.

Nota: o símbolo Ì significa “contido em”.

Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x),
podemos representar os pares ordenados (x,y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .

Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:

a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .

b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .

c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .

Veja a figura abaixo, relativa aos ítens 1, 2 e 3 acima:

2 -Tipos de funções

2.1 - Função sobrejetora

É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .
Exemplo:

2.2 - Função injetora

Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
isto é:
x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) .

Exemplo:

2.3 - Função bijetora

Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .

Exemplo:

Exercícios resolvidos:

1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas

Solução:

Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) .

Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.

2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:

Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u \ x = u + 5

Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

3 – UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x² + 1) = - 2x² + 2,
para todo x Î R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3

Solução:

Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x² + 1) = a(2x² + 1) + b
Como f(2x² + 1) = - 2x² + 2, vem, igualando:

a(2x² + 1) + b = - 2x² + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax² + a + b = -2x² + 2

Então, poderemos escrever: 2a = -2 \ a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

Agora resolva este:

A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resp: 9x + 5

3 - Paridade das funções

3.1 - Função par

A função y = f(x) é par, quando " x Î D(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
O símbolo " , lê-se “qualquer que seja”.

Exemplo:

y = x⁴ + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 2⁴ + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)⁴ + 1 = 17

O gráfico abaixo, é de uma função par.

4.2 - Função ímpar

A função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.

Exemplo:

y = x³ é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)³ = - 8 e - f( x) = - ( 2³ ) = - 8.

O gráfico abaixo é de uma função ímpar:

Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.

Exemplo:

O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.