4. Conectivos lógicos
Conectivos lógicos são palavras usadas para conectar as proposições formando novas sentenças.
Os principais conectivos lógicos são:
Equivalência lógica
Definição
Há equivalência entre as proposições P e Q somente quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou quando P e Q tiverem a mesma tabela-verdade. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.
Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔
O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições P e Q, que tem como resultado uma nova proposição P ↔ Q com valor lógico V ou F.
O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P ↔ Q, ou ainda que o valor lógico de P ↔ Q é sempre V, ou então P ↔ Q é uma tautologia.
Exemplo
A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:
Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.
Veja a representação:
(p → q) ⇔ (~q → ~p)
Implicação lógica
Definição
A proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.
O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica.
Diferenciação dos símbolos → e ⇒
O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições P e Q que tem como resultado a proposição P → Q, com valor lógico V ou F.
O símbolo ⇒ representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia.
Exemplo
A tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:
Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (p ↔q)
. O conectivo e e a conjunção
O conectivo e e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p Λ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:
Exemplo
p = 2 é par
q = o céu é rosa
p Λ q = 2 é par e o céu é rosa
p = 9 < 6
q = 3 é par
p Λ q: 9 <>e 3 é par
p = O número 17 é primo
q = Brasília é a capital do Brasil
p Λ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil
O conectivo não e a negação
O conectivo não e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:
Exemplo:
p = 7 é ímpar
~p = 7 não é ímpar
q = 24 é múltiplo de 5
~q = 24 não é múltiplo de 5
O conectivo ou e a disjunção
O conectivo ou e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p ∨ q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:
Exemplo:
p = 2 é par
q = o céu é rosa
p ν q = 2 é par ou o céu é rosa
p = 9 < 6
q = 3 é par
p ν q: = 9 <>ou 3 é par
p = O número 17 é primo
q = Brasília é a capital do Brasil
p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil
p = O número 9 é par
q = O dobro de 50 é 100
p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100
O conectivo se e somente se e a bicondicional
A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos.
O símbolo 
Exemplo
p = 24 é múltiplo de 3
q = 6 é ímpar
p = 25 é quadrado perfeito
q = 8 > 3
p = 27 é par
q = 6 é primo
O conectivo se... então... e a condicional
A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:
Exemplo:
P: 7 + 2 = 9
Q: 9 – 7 = 2
p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2
p = 7 + 5 < 4
q = 2 é um número primo
p → q: Se 7 + 5 <>então 2 é um número primo.
p = 24 é múltiplo de 3
q = 3 é par
p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.
p = 25 é múltiplo de 2
q = 12 < 3
p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.
Operações lógicas com sentenças abertas
É possível efetuar as sentenças abertas de forma análoga à das proposições lógicas, através dos conectivos já apresentados: não, e, ou, se então, se e somente se.
Exemplo
Observando a condicional (x > 5) → (x > 2), em N, podemos notar que:
Proposições simples e compostas
As proposições simples ou atômicas são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...
As proposições compostas ou moleculares são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...
Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.
Exemplo:
Proposições simples:
p: O número 24 é múltiplo de 3.
q: Brasília é a capital do Brasil.
r: 8 + 1 = 3 . 3
s: O número 7 é ímpar
t: O número 17 é primo
Proposições compostas
P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24.
Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3.
R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo.
Princípios fundamentais da lógica
Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo.
Principio do terceiro excluído: Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa.
Proposição
Proposição ou sentença é um termo utilizado para exprimir idéias, através de um conjunto de palavras ou símbolos. Este conjunto descreve o conteúdo dessa idéia.
Sentenças abertas
Definições
Supondo que U seja um conjunto e x um elemento desse conjunto, podemos considerar que:
- U é um conjunto-universo e x a variável.
- a proposição p(x) será uma sentença aberta em U quando p(a) for verdadeira ou p(a) for falsa, ∀a ∈ U.
- se a ∈ U e p(a) for verdadeira, nesse caso a confirma p(x) ou a é a solução de p(x).
- O conjunto-verdade de p(x), em U, é formado por todos e somente os elementos de a ∈ U, onde p(a) é uma sentença verdadeira. Veja a representação deste conjunto: {a ∈ U| p(a) é V}.
Exemplos:
Tabela-Verdade
A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples.
A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.
Proposição composta do tipo P(p, q)
Proposição composta do tipo P(p, q, r)
Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)
A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.
Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)
A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.
Tabela-Verdade de uma proposição composta
Exemplo
Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas proposições simples.
Resolução
Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:
Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.
a) Valores lógicos de p ν q
b) Valores lógicos de ~p
c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p)
d) Valores lógicos de p Λ q
e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p Λ q)
Tautologia, contradição e contingência
Tautologia
Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.
Exemplo
A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade.
Exemplo
A proposição (p Λ q) → (p → q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.
Contradição
Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.
Exemplo
A proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não contradição.
Exemplo
A proposição ~(p ν q) Λ (p Λ q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F.
Contingência
Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada.
Teorema contra-recíproco
A equivalência (p → q) ⇔ (~q → ~p), tem o seguinte significado:
Sendo p → q = V, nesse caso:
p ⇒ q é equivalente a (~q) ⇒ (~p)
Exemplo
b = 8 ⇒ b > 3 é equivalente a b <> ⇒ b ≠ 8
Valor lógico
Considerando os princípios citados acima, uma proposição é classificada como verdadeira ou falsa.
Sendo assim o valor lógico será:
- a verdade (V), quando se trata de uma proposição verdadeira.
- a falsidade (F), quando se trata de uma proposição falsa
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