O somatório

Somatório: um conceito importante

Calcule o valor da soma S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n.(n + 1) para n ³ 1.

Solução:

Na soma acima, observe que o termo de ordem n (n-ésimo termo ou enésimo termo) é igual a
n.(n + 1)

Seja T_i um termo qualquer da soma acima. Podemos escrever T_i = i.(i + 1) = i² + i
Com efeito, por exemplo o 5º termo é igual a 5.6 ou seja, T₅ = 5.(5+1) = 5.6
O sexto termo é igual a 6.7, ou seja T₆ = 6.(6 + 1) = 6.7 e assim sucessivamente.

Para facilitar a resolução da questão, vamos usar a notação de somatório. Antes porém, vamos revisar a notação de somatório.

Seja a soma p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + ... + p_n . Observe que um termo qualquer desta soma poderia ser representado por p_i onde i = 1, 2, 3, ... , n.

A notação de somatório permite simplificar a exibição da soma acima, utilizando como símbolo, a letra grega maiúscula sigma (S) da seguinte forma:



que lê-se: somatório de todos os p_i com i variando de 1 a n.

De modo inverso, poderemos desenvolver um somatório. Veja o exemplo:
a)


b)


c)


Uma propriedade importante dos somatórios é a seguinte:


ou seja: o somatório de uma soma é igual à soma dos somatórios.

Usando a nova simbologia introduzida acima, poderemos escrever a soma
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n.(n + 1) para n ³ 1 ou,
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + n² + n para n ³ 1
na seguinte forma de somatório:



onde i = 1, 2, 3, ... , n, pois já vimos acima que sendo T_i um termo qualquer da soma que desejamos calcular, podemos escrever T_i = i.(i + 1) = i² + i.

Então, a soma procurada S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + ... + (n² + n) pode ser decomposta na forma:

S = (1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n)

Ora, o valor da primeira parcela 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² , eu já calculei no arquivo Uma soma de quadrados (para retornar clique em VOLTAR no seu navegador) e é igual a:

1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

A segunda parcela 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é a soma dos n primeiros termos de uma PA (para retornar clique em VOLTAR no seu navegador) de primeiro termo 1 e último termo n,
cujo resultado é [(1 + n).n] / 2.

Substituindo, fica:

S = (1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² ) + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) =
= [n(n+1)(2n+1)]/6 + [(1 + n).n] / 2

Efetuando as operações indicadas, vem:

[(n² + n)(2n+1)] / 6 + (n + n²) / 2 = [(2n³ + n² + 2n² + n) / 6] + (n² + n) / 2 =
= [(2n³ + n² + 2n² + n) / 6] + (3n² + 3n) / 6 =
= [(2n³ + 6n² + 4n) / 6
Dividindo tudo por 2, vem, finalmente:

S = (n³ + 3n² + 2n) / 3

Portanto, chegamos à brilhante conclusão:



Assim, por exemplo, se n = 4 (tomando os quatro primeiros termos da soma), teríamos:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 = (4³ + 3.4² + 2.4) / 3 = 120 / 3 = 40.

Assim, por exemplo, se n = 5 (tomando os cinco primeiros termos da soma), teríamos:
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 = (5³ + 3.5² + 2.5) / 3 = 210/3 = 70.
E assim sucessivamente.

Uma outra conclusão brilhante que podemos tirar do exercício acima é que, para todo n inteiro maior ou igual a 1, o trinômio n³ + 3n² + 2n será sempre um número divisível por 3.

Isto nos leva a afirmar por exemplo que o número (gigantesco)
100000³ + 3.100000² + 2.100000 é divisível por 3, entre outros infinitos exemplos que poderiam ser apresentados.