MATEMÁTICA CURIOSA

quarta-feira, 17 de novembro de 2010

Desafio

Usando três algarismos 9 e um símbolo de subtração obtenha o numero 1.

Poste sua resposta no comentários .

domingo, 7 de novembro de 2010

Nos cursos de engenharia deparamos constantemente com os quadriláteros, seja no corte de uma chapa, usinagem de um bloco ou mesmo no dimensionamento de um terreno o quadrilátero é um dos polígonos mais presentes no dia-a-dia dos engenheiros.

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados e quatro ângulos, podendo ser classificados em

paralelogramos – pares de lados paralelos
- paralelogramo
- retângulo
- losango
- quadrado que é o único regular
trapézios – bases paralelas
- retângulo
- isósceles
- escaleno

Características dos quadriláteros

Paralelogramo – lados opostos paralelos e iguais, diagonais diferentes, cortam-se ao meio
Retângulo – lados opostos paralelos e iguais, ângulos iguais e retos, diagonais iguais, cortam-se ao meio
Losango – lados iguais, diagonais desiguais, perpendiculares, diagonais cortam-se ao meio
Quadrado – lados iguais e ângulos iguais a 90° (retos) polígono regular, diagonais iguais, perpendiculares diagonais cortam-se ao meio
Trapézio Retângulo – bases paralelas, possui dois ângulos retos, diagonais diferentes, nunca se cortam ao meio
Trapézio Isósceles – bases paralelas, diagonais iguais, não se cortam ao meio, lados não paralelos ou contrabases são iguais, chamados simétricos
Trapézio Escaleno – bases paralelas, lados desiguais, diagonais diferentes, não se cortam ao meio.

Área de um Quadrilátero.

Para saber a área dos quadriláteros usamos fórmulas. Por exemplo para achar a área de um quadrado ou de um retângulo multiplicamos lado X altura, vejam:

Um dado retângulo com lado de 500mm e altura de 250mm possui que área?

Área = lado X altura

Área = 500 X 250

Área = 125000mm ou 1250cm ou 0,125m

Para a área do paralelogramo usamos a fórmula S = b X h; onde S é a área, b e a base e h a altura

Para a área do Losango usamos S = (D X d) / 2 onde D é a diagonal maior, d a diagonal menor

Trapézio usamos S=(B+b/2) X h onde B é a base maior, b a base menor e h altura

Última atualização (Sex, 07 de Agosto de 2009 13:30)

Função

sábado, 23 de outubro de 2010

Multiplicação Russa

Aos antigos camponeses russos atribuem alguns matemáticos um processo especial de multiplicação, processo que nada tem de simples mas que não deixa de apresentar uma face curiosa.

Vamos supor que, movidos por uma desmedida excentricidade, resolvemos aplicar o sistema russo para obter o produto do número 36, pelo número 13.

Escrevemos os dois fatores (36 e 13), um ao lado do outro, e um pouco afastados:

36 --------- 13

Determinemos a metade do primeiro e o dobro do segundo, escrevendo os resultados em baixo dos fatores correspondentes:

36 -------- 13

18 -------- 26

Procedamos do mesmo modo com os resutados obtidos; isto é, tomemos a metade do primeiro e o dobro do segundo:

36 --------13

18 -------- 26

9 --------- 52

Vamos repetir a mesma operação: calcular a metade do número à esquerda e o dobro do número à direita. Como chegamos a um número ímpar (que no nosso caso é 9), devemos subtrair uma unidade e tomar a metade do resultado. De 9, tirando 1 fica 8, cuja metade é 4. E assim procedamos até chegarmos ao termo igual a 1 na coluna à esquerda.

Temos, portanto:

36 ------- 13

18 ------- 26

9 -----52(X)

4 ------ 104

2 -------208

1 --- 416(X)

Somemos os números da coluna à direita que correspondem aos números ímpares da coluna à esquerda. (Esses números estão marcados com o sinal (X).) Essa soma será:

52 + 416 = 468

O resultado assim obtido (468) será o produto do número 36 por 13.

Ainda um exemplo: vamos multiplicar, por esse extravagante processo, o número 45 por 32.

45 ------- 32(X)

22 -----------64

11 ------ 128(X)

5 ----------- 256

2 ----------- 512

1 ---------- 1024

Somando os números (X), que correspondem aos termos ímpares da coluna à esquerda, obtemos o resultado 1440, que exprime o produto de 45 por 32.

O chamado "processo dos camponeses russos", que acabamos de indicar, não passa de uma simples curiosidade aritmética, pois o prfocesso que aprendemos nas nossas escolas pode ser muito burguês, mas não deixa de ser muitíssimo mais simples e mais prático.

Texto extraído do livro "Matemática Divertida e Curiosa" de Malba Tahan, Editora Record.

sexta-feira, 15 de outubro de 2010

HOMENAGEM AO PROFESSOR

HOMENAGEM AO PROFESSOR

As bolas de papel na cabeça,
Os inúmeros diários para se corrigir,
As críticas, as noites mal dormidas...
Tudo isso não foi o suficiente
Para te fazer desistir do teu maior sonho:
Tornar possíveis os sonhos do mundo.
Que bom que esta tua vocação
Tem despertado a vocação de muitos.
Parece injusto desejar-te um feliz dia dos professores,
Quando em seu dia-a-dia
Tantas dificuldades acontecem.
A rotina é dura, mas você ainda persiste.
Teu mundo é alegre, pois você
Consegue olhar os olhos de todos os outros
E fazê-los felizes também.
Você é feliz, pois na tua matemática de vida,
Dividir é sempre a melhor solução.
Você é grande e nobre, pois o seu ofício árduo lapida
O teu coração a cada dia,
Dando-te tanto prazer em ensinar.
Homenagens, frases poéticas,
Certamente farão parte do seu dia a dia,
E quero de forma especial, relembrar
A pessoa maravilhosa que você é
E a importância daquilo do seu ofício.
É por isto que você merece esta homenagem
Hoje e sempre, por aquilo que você é
E por aquilo que você faz.
Felicidades!!!
(autor desconhecido)

Você sabe como surgiu o Dia do Professor?

Você sabe como surgiu o Dia do Professor?

O Dia do Professor é comemorado no dia 15 de outubro. Mas poucos sabem como e quando surgiu este costume no Brasil.

No dia 15 de outubro de 1827 (dia consagrado à educadora Santa Tereza D’Ávila), D. Pedro I baixou um Decreto Imperial que criou o Ensino Elementar no Brasil. Pelo decreto, “todas as cidades, vilas e lugarejos tivessem suas escolas de primeiras letras”. Esse decreto falava de bastante coisa: descentralização do ensino, o salário dos professores, as matérias básicas que todos os alunos deveriam aprender e até como os professores deveriam ser contratados. A idéia, inovadora e revolucionária, teria sido ótima - caso tivesse sido cumprida.

Mas foi somente em 1947, 120 anos após o referido decreto, que ocorreu a primeira comemoração de um dia dedicado ao Professor.

Começou em São Paulo, em uma pequena escola no número 1520 da Rua Augusta, onde existia o Ginásio Caetano de Campos, conhecido como “Caetaninho”. O longo período letivo do segundo semestre ia de 01 de junho a 15 de dezembro, com apenas 10 dias de férias em todo este período. Quatro professores tiveram a idéia de organizar um dia de parada para se evitar a estafa – e também de congraçamento e análise de rumos para o restante do ano.

O professor Salomão Becker sugeriu que o encontro se desse no dia de 15 de outubro, data em que, na sua cidade natal, professores e alunos traziam doces de casa para uma pequena confraternização. Com os professores Alfredo Gomes, Antônio Pereira e Claudino Busko, a idéia estava lançada, para depois crescer e implantar-se por todo o Brasil.

A celebração, que se mostrou um sucesso, espalhou-se pela cidade e pelo país nos anos seguintes, até ser oficializada nacionalmente como feriado escolar pelo Decreto Federal 52.682, de 14 de outubro de 1963. O Decreto definia a essência e razão do feriado: "Para comemorar condignamente o Dia do Professor, os estabelecimentos de ensino farão promover solenidades, em que se enalteça a função do mestre na sociedade moderna, fazendo participar os alunos e as famílias".

Fontes:
Site www.diadoprofessor.com.br
Site www.unigente.com

Dia do Professor em outros países:

Estados Unidos: National Teacher Day - na terça-feira da primeira semana completa de Maio.

World Teachers’ Day - UNESCO e diversos países - 5 de Outubro

Tailândia - 16 de Janeiro

Índia - 5 de Setembro

China - 10 de Setembro

México - 15 de Maio

Taiwan - 28 de Setembro

Argentina - 11 de Setembro

Chile - 16 de Outubro

Uruguai - 22 de setembro

Paraguai - 30 de Abril

sexta-feira, 8 de outubro de 2010

O Volume do Barril Elíptico

Já apresentei uma fórmula para calcular o volume de um barril, ajustando a curva resultante da interseção de um plano que passa pelo seu eixo a uma parábola.

Na prática, a fórmula usada para calcular o volume de um barril é dada por

$[;V = \frac{\pi h}{12}(2D^2 + d^2) \qquad (1);]$

que é obtida admitindo que a curva interseção é uma elipse centrada na origem e de semi-eixos [;a;]

cuja equção cartesiana é dada por

$[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\qquad (2);]$

O primeiro passo para deduzir a expressão [;(1);]

é escrever [;a;]

em função de [;D;]

. Substituindo o ponto [;(0,D/2);]

, temos

$[;\frac{0^2}{a^2} + \frac{D^2/4}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad b^2 = \frac{D^2}{4};]$

Analogamente, substituindo o ponto $[;(\frac{h}{2},\frac{d}{2});]$ , segue que

$[;\frac{h^2/4}{a^2} + \frac{d^2/4}{D^2/4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{h^2}{4a^2} = 1 - \frac{d^2}{D^2} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{h^2}{4a^2} = \frac{D^2 - d^2}{D^2} \quad \Rightarrow \quad\frac{1}{a^2} = \frac{4(D^2 - d^2)}{D^2h^2};]$

Sendo $[;dV = \pi y^2dx;]$ , segue que

$[;dV = \pi b^2\biggl(1 - \frac{x^2}{a^2}\biggr) = \pi \frac{D^2}{4}\biggl(1 - \frac{4x^2(D^2 - d^2)}{D^2h^2}\biggr)dx \quad \Rightarrow;]$

$[;dV = \frac{\pi}{4h^2}\biggl[D^2h^2 - 4(D^2 - d^2)x^2\biggr]dx \quad \Rightarrow;]$

$[;V = 2\times\frac{\pi}{4h^2}\int_{0}^{h/2}\biggl[D^2h^2 - 4(D^2 - d^2)x^2\biggr]dx \quad \Rightarrow;]$

$[;V = \frac{\pi}{2h^2}\biggl[D^2h^2x -4(D^2 -d^2)\frac{x^3}{3} \biggr]_{0}^{h/2}\quad \Rightarrow;]$

$[;V = \frac{\pi h}{2}\biggl[\frac{D^2}{2} - \frac{(D^2 - d^2)}{6}\biggr] = \frac{\pi h}{12}(2D^2 + d^2);]$

É comum expressar esta fórmula em função dos raios das bases: [;r = d/2;]

. Substituindo esses valores em [;(1);]

, tem-se

$[;V = \frac{\pi h}{3}(2R^2 + r^2);]$

Exemplo 1: Calcule o volume de um barril de vinho de altura $[;h = 80\ cm;]$ , diâmetro da base média $[;D = 40\ cm;]$ e diâmetro da base inferior ou superior $[;d = 30\ cm;]$ .

Resolução: Usando a expressão [;(1);]

, temos

$[;V = \frac{\pi 80}{12}(2\cdot 40^2 + 30^2) = \frac{82000\pi}{3}\ cm^3 \simeq 85870\ cm^3;]$

Observação 1: Entende-se também por barril como uma unidade para petróleo líquido (geralmente petróleo cru) igual a [;158,987294928;]

litros se for barril stadunidense ou a [;159,11315;]

litros se for barril imperial britânico. O barril é representado por bbl, com os seus múltiplos Mbbl (mil barris) e MMbbl (um milhão de barris).

Fonte: Wikipédia.
Mais uma postagem fantástica do blog
http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/10/o-volume-do-barril-eliptico.html?utm_source=feedburn

terça-feira, 5 de outubro de 2010

Relações trigonometricas no triângulo retângulo

Fonte : Caderno do Futuro

Relações Trigonométricas no triângulo retângulo

Fonte : Caderno do Futuro

quarta-feira, 22 de setembro de 2010

Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, presentes em pequenos santuários budistas japoneses.

Essas tabletas visíveis hoje são em sua maioria do século [;XIX;]

, mas sabe-se que a prática já era corrente em meados do século [;XVII;]

. O conteúdo e a forma dos sangaku mudaram pouco desde época em que surgiram: trata-se de enunciados de problemas, propostos por um indivíduo, com ou sem solução. Eles são relativamente sucintos e inspirados, na maioria dos casos, em composições geométricas complexas, nas quais quadrados, círculos, elipses, esferas ou cubos se cruzam ou tangenciam harmoniosamente.

Uma possível explicação do papel dessas tabuletas, foi a de divulgar os jovens talentosos isolados e desprovidos de recursos. Para esses últimos, pendurar a resolução de um problema difícil num lugar muito visitado era uma maneira eficaz de atrair a atenção para eles. Um exemplo é o caso do matemático Aida Yasuaki [;(1747-1817);]

no momento em que decidiu se tornar conhecido na capital.

Neste post, veremos alguns sangakus com soluções e outros que deixarei como desafio para os meus leitores. Vejamos então alguns problemas:

[;1);]

Os círculos azul, laranja e vermelho são tangentes entre si dois a dois, e tangentes a uma reta comum. Determine o raio do círculo menor em função dois outros dois círculos.

Resolução: Sejam $[;r_1,\ r_2;]$ e [;r_3;]

os raios dos círculos de centros [;O_1;]

respectivamente. Segue da figura abaixo que a hipotenusa do triângulo retângulo é [;r_1 + r_2;]

e o cateto menor é [;r_1 - r_2;]

Assim, pelo teorema de Pitágoras,

$[;AB^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_1 - r_2)^2 = 4r_1r_2 \quad \Rightarrow \quad AB = 2\sqrt{r_1r_2};]$

Analogamente, $[;AC = 2\sqrt{r_1r_3};]$ e $[;BC = 2\sqrt{r_2r_3};]$ . Logo,

$[;AB = AC + CB \quad \Rightarrow \quad 2\sqrt{r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_3} + 2\sqrt{r_2r_3};]$

Dividindo ambos os membros por $[;\sqrt{r_1r_2r_3};]$ , segue que

$[;\frac{1}{sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_2}} + \frac{1}{\sqrt{r_1}};]$

Dado dois círculos de raios inscritos iguais como mostrado na figura abaixo, prove que $[;AP = \sqrt{p(p-a)};]$ , onde [;p;]

é o semi-perímetro do $[;\Delta ABC;]$ .

Resolução: Na figura acima, [;r;]

é o inraio do $[;\Delta ABC;]$ . Sejam [;p_1;]

o semi-perímetro dos $[;\Delta ABP;]$ e $[;\Delta ACP;]$ respectivamente, que aliás possuem o mesmo inraio denotado por [;k;]

. Fazendo

, segue que [;2p_1 + 2p_2 = 2p + 2x;]

. Por outro lado, pela igualdade de áreas, [;rp = kp_1 + kp_2;]

. Portanto,

$[;x = rp/k - p \quad \quad (1);]$

Por semelhanças de triângulos,

$[;\frac{p-b}{p_1 - x} = \frac{r}{k} = \frac{p - c}{p_2 - x} \quad \quad (2);]$

, segue que

$[;\frac{p(p-b)}{p_1 - x} - p = x = \frac{p(p - c)}{p_2 - x} - p;]$

Dessas equações obtemos o sistema na variável $[;x\ ;]$ , ou seja:

$[;\begin{cases}p(p - b) - pp_1 + px &= p_1x - x^2\\p(p - c) - pp_2 + px &= p_2x - x^2\\\end{cases};]$

Somando essas equações, temos:

[;p(2p - b - c) - p(p_1 + p_2) + 2px = x(p_1 + p_2) - 2x^2;]

$[;pa - p(p + x) + 2px = x(p + x) - 2x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = p^2 - pa;]$

Logo,

$[; x = \sqrt{p(p-a)};]$

Problemas Propostos:

A corda

é perpendicular ao diâmetro [;CP;]

de um círculo de centro [;O;]

é um ponto de [;CP;]

entre

intercepta o círculo em [;V;]

. Seja

o raio do círculo inscrito no triângulo curvilíneo [;TQV;]

(conforme a figura abaixo). Prove que

$[;\frac{1}{r} = \frac{1}{PQ} + \frac{1}{QR};]$

Considere o quadrado [;ABCD;]

abaixo de lado [;a;]

e diagonal [;AC;]

. Os raios inscritos dos triângulos [;ACN;]

são iguais a [;r;]

. Escreva

em função do lado [;a;]

Sugestão: Sendo $[;\Delta BCN;]$ retângulo, mostre que

[;r = (BN + BC + CN)/2 - CN = (BN + BC - CN)/2;]

Por outro lado, sendo os raios inscritos nos dois triângulos iguais, segue que do Exemplo 2) que [;CN^2 = p(p - AB);]

, onde

é o semi-perímetro do $[;\Delta ABC;]$ . Usando o fato que $[;AC = a\sqrt{2};]$ , segue o resultado.

Referências Bibliográficas:
- Unger, J. Marshall. A Collection Sangaku Problems. Department of East Asian Languages & Literatures.The Ohio State University.
- Horiuchi Annick. Geometria a Serviço dos Deuses no Japão. Etnomatemática: Edição Especial da Scientif American Brasil.

Fonte:http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/03/os-sangakus-e-matematica-japonesa.html