Teorema de Tales

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ABRAÇOS
fonte :Matemática Pensar e descobrir . O + Novo

Apótema

Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.

A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.

No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes.

Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:

a² + 2² = 4²
a² + 4 = 16
a² = 16 – 4
a² = 12
√a² = √12
a = 2√3 cm


Exemplo 2

Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10 cm.

Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:

Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8).

tg 45º = 5/a
1 = 5/a
a = 5 cm

Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras:

r² = a² + 5²
r² = 5² + 5²
r² = 25 + 25
r² = 50
√r² = √50
r = 5√2 cm

Exemplo 3

Determine a medida do apótema da pirâmide a seguir, sabendo que sua altura mede 4,8 cm e o apótema da base mede 3,6 cm.

Resolução:
O apótema de uma pirâmide é o segmento que parte do vértice até a base da lateral, formando um ângulo reto, isto é, a medida da altura da face lateral.

a² = 3,6² + 4,8²
a² = 12,96 + 23,04
a² = 36
√a² = √36
a = 6 cm

GRANDES MATEMÁTICOS

John Von Neumann

(1903-1957)
John von Neumann foi um dos matemático mais notáveis de nossos tempos. Como tantos outros matemáticos ele prestou contribuições importantes tanto à ciência quanto à matemática. Von Neumann se sentia particularmente fascinado pelos jogos de estratégia e de acaso. Assim, não é de se surpreender, que fosse ele uma das pessoas que abrisse o novo campo da matemática chamado teoria dos jogos. Empregando as probabilidades envolvidas em um jogo de acaso e trabalhando com estratégias que produzem “vencedores” em jogos de tomar decisões, a teoria dos jogos de Von Neumann pode solucionar problemas de economia, de ciência e de estratégia militar.
Von Neumann nasceu em Budapeste, na Hungria. Aos seis anos era capaz de resolver mentalmente problemas de divisão como 78.463.215 ¸ 49.673.235. Por volta dos oito anos, obteve seu diploma de cálculo na faculdade e como brincadeira podia memorizar, apenas olhando, os nomes, os endereços e números de telefone de uma coluna em uma lista telefônica. Com apenas 23 anos escreveu um livro chamado Os fundamentos matemáticos da mecânica quântica, utilizado no desenvolvimento da energia atômica.
Em 1930, von Newman foi para os Estados Unidos assumir o cargo de professor de física matemática na Universidade de Princeton. Tornou-se interessado no uso de computadores de grande escala e construiu um dos primeiros cérebros eletrônicos modernos, chamado MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Como conselheiro do governo americano na 2ª Guerra Mundial, exerceu influência, exerceu influência no projeto de armas e mísseis nucleares.
Von Neumann tinha muitos interesses intelectuais, mas seu maior divertimento era resolver problemas. Algumas vezes, enquanto viajava, ele se envolvia de tal forma com um problema que tinha de telefonar a sua esposa para descobrir por que tinha feito aquela viagem.

(www.netescola.pr.gov.br)

Desafio alunos do Pándia

Quando o aluno perguntou a hora, interrompendo a aula, a professora respondeu que, se ele somasse um quarto do tempo decorrido entre meia–noite e aquele à metade do tempo que faltava para a meia-noite seguinte, teria a resposta. Qual era a hora certa?

R: A hora certa é de fato o tempo decorrido desde a meia-noite.
Chamando-a de t, um quarto dela é t/4 e o que falta para meia-noite seguinte é 24-t. Metade disso dá (24-t)/2 . Com isso, temos:
t/4+(24-t)/2=t

t = 9,6 horas
t = 9 h36m

Desafio alunos do Helena Guerra

Um sapo sobe uma escada saltando de um em um ou de dois em dois degraus, mas não consegue saltar de três em três. A escada possui dez degraus e obrigatoriamente o sapo pára no sexto degrau para descansar. De quantas maneiras diferentes o sapo pode subir até o topo dessa escada?

Para chegar até o sexto degrau o sapo pode saltar de diferentes maneiras :

a) 1 1 1 1 1 1
b) 2 2 2
c) 2 1 1 1 1
d) 1 2 1 1 1
e) 1 1 2 1 1
f) 1 1 1 2 1
g) 1 1 1 1 2
h) 2 2 1 1
i) 2 1 2 1
j) 2 1 1 2
k) 1 1 2 2
l) 1 2 1 2
m) 1 2 2 1

Para subir os quatro degraus restantes ele pode saltar assim:

a) 1 1 1 1
b) 2 2
c) 2 1 1
d) 1 2 1
e) 1 1 2

Se para cada uma das maneiras de chegar ao descanso o sapo tem cinco possibilidades de chegar ao topo da escada, você já pode dizer de quantas maneiras diferentes ele pode subir a escada: Pode subir a escada de 65 maneiras diferentes.

Desafio

O Pedro e Jorge estão vendo um livro com muitas páginas. Começando na página 1 , o Jorge passa duas folhas e fica a ver as páginas 4 e 5 e . A seguir, Pedro passa uma folha e vê as página 6 e 7 e. Depois o Jorge passa novamente duas folhas, Pedro torna a passar uma, e assim sucessivamente. Qual dos dois amigos vê a página 2008?

Resposta :


Se entendi corretamente o texto (porque da 1 para a 4 são passadas 3 folhas — isso, considerando que Pedro passa apenas uma folha da 5 para a 6...), a resolução seria assim:

Jorge — 4,5 - 10,11 - 16,17 - ...
Pedro — 6,7 - 12,13 - 18,19 - ...

São ambas P.A.'s de razão igual a 6; a primeira iniciando em 4 e a outra em 6:

an(J) = 4 + (n-1)*6 = 2008
4 + 6n - 6 = 2008
6n = 2008 - 4 + 6 = 2010
n = 2010/6 = 335

an(P) = 6 + (n-1)*6 = 2008
6 + 6n - 6 = 2008
6n = 2008
n = 2008/6 = 334,666...

Resposta: Quem vê a página 2008 é o Jorge.

Soma e Produto

Na resolução de uma equação do 2º grau temos três possibilidades de resultados, podemos encontrar duas raízes reais diferentes, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real.

Quando existir raiz real na resolução de equações do 2º grau, podemos fazer relações entre essas raízes, como: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Para provarmos a soma e o produto de duas raízes reais de uma equação do 2º grau devemos partir da sua forma geral:

ax² + bx + c = 0
Dessa forma geral, podemos encontrar duas raízes reais x’ e x”, utilizando Bháskara.


SOMA
Somando as duas raízes:
x’ + x”



- b - √∆ - b + √∆ → +√∆ e -√∆ cancelam, pois sua soma será zero.
2a

-2b :2
2a :2

-b
a

Portanto, somar as duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ + x” = -b
a

PRODUTO
Multiplicando as duas raízes:
x’ . x”



Portanto, o produto das duas raízes de uma equação do segundo grau é o mesmo que:
x’ . x” = c
a

Além de utilizarmos a fórmula de Bháskara para encontrarmos o valor de x’ e x”, podemos utilizar o produto e a soma das raízes, veja como:

Dada a equação x² – 7x + 10 = 0. Para encontrar a soma e o produto de suas raízes não é necessário que saibamos qual é o valor delas, mas devemos retirar da equação os seus coeficientes.
a = 1
b = - 7
c = 10



Chegamos a duas conclusões: a soma dessas raízes será 7 e o produto delas será 10. Por tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10.
5 . 2 = 10

(-5) . (-2) = 10

1 . 10 = 10

(-1) . (-10) = 10

Desses produtos deve-se escolher aquele que se somarmos os seus fatores encontraremos como resultado 7.
5 + 2 = 7

Portanto, x’ = 5 e x” = 2.

Inequações do 2º grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente


As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 <>.

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}


Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}


Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x <> 3}

Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares:

|x| > 5

|x| < 5

|x – 3| ≥ 2

Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma inequação e as condições de existência de um módulo.

Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo:

Se |x| < k então, – k < x < k

Se |x| > k então, x < – k ou x > k

Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1

|x| ≤ 6

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 6 ≤ x ≤ 6

S = {x Є R / – 6 ≤ x ≤ 6}


Exemplo 2

|x – 7| <>

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 2 < x – 7 < 2
– 2 + 7 < x < 2 + 7
5 <>

S = {x Є R / 5 <>



Exemplo 3

|x² – 5x | > 6

Precisamos verificar as duas condições:

|x| > k então, x < – k ou x > k

|x| < k então, – k < x < k


Fazendo |x| > k então, x < – k ou x > k
x² – 5x > 6
x² – 5x – 6 > 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 6
x” = –1

Pela propriedade:
x > 6
x < –1

Fazendo |x| < k então, – k < x < k
x² – 5x < – 6
x² – 5x + 6 < 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 3
x” = 2

Pela propriedade:
x > 2
x < 3

S = {x Є R / x < –1 ou 2 <> 6}.

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL

A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.

Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

• 

Solução

Logo, V= {58}.

• 

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

• 

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

• 

Solução

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

Observe as equações:

x⁴ - 13x² + 36 = 0

9x⁴ - 13x² + 4 = 0

x⁴ - 5x² + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x⁴, um termo em x² e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:

x⁴ - 5x² + 4 = 0

x⁴ - 8x² = 0

3x⁴ - 27 = 0

Cuidado!

x⁴ - 2x³ + x² + 1 = 0 6x⁴ + 2x³ - 2x = 0 x⁴ - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

Seqüência prática

• Substitua x⁴ por y² ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x² por y.

• Resolva a equação ay² + by + c = 0

• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay² + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay² + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ - 13 x² + 36 = 0.

Solução

Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:

y² - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9

Como x²= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x⁴ + 4x² - 60 = 0.

Solução

Substituindo x⁴ por y² e x² por y, temos:

y² + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x²= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade:.

• Determine a soma das raízes da equação .

Solução

Utilizamos o seguinte artifício:

Assim:

y² - 3y = -2

y² - 3y + 2 = 0

y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0

Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.

Para isso, substituimos xⁿ por y, obtendo:

ay² + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

• resolva a equação x⁶ + 117x³ - 1.000 = 0.

Solução

Fazendo x³=y, temos:

y² + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

y'= 8 e y''= - 125

Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x₁, x₂, x₃ e x₄ pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:

• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

Solução

a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0

x²(x² -49) = 0 (x²-a²) (x²-b²) = 0

x⁴ - 49x² = 0 x⁴ - (a² + b²) x² + a²b² = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax⁴ + bx² + c = 0, cujas raízes são x₁, x₂, x₃ e x₄ e a equação do 2º grau ay² + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .