Trabalho Alunos E.E. Helena Guerra

Copie os exercícios no caderno e resolva .


Pagina 50 do livro exercícios 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Pagina 148 do livro exercícios 1,2,3,4,5,6,7,8

Amanhã vou postar mais uma lista de exercícios .

Com Capricho !
Bons Estudos !!!

Atividades para os alunos Helena Guerra

Exercicios de geometria

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ALUNOS COPIAR E RESOLVER OS EXERCÍCIOS NO CADERNO PELA VISUALIZAÇÃO !!


Abraços Betão

Prisma

Consideremos o prisma como um sólido geométrico formado pelos seguintes elementos: base, altura, vértices, arestas e faces laterais. Os prismas podem apresentar diversas formas, mas algumas características básicas definem esse sólido geométrico. Por exemplo, o número de faces do prisma será exatamente igual ao número de lados do polígono que constitui suas bases (superior e inferior), dessa forma, sua classificação quanto ao número de lados pode ser:

Triangular – base constituída de triângulos.
Quadrangular – base constituída de quadriláteros.
Pentagonal – base constituída de pentágonos.
Hexagonal – base constituída de hexágonos.
Heptagonal – base constituída de heptágonos.
Octogonal – base constituída de octógonos.

Os prismas também podem ser classificados como retos ou oblíquos. Os prismas retos são aqueles em que a aresta lateral forma com a base um ângulo de 90º, os oblíquos são aqueles em que as arestas formam ângulos diferentes de 90º.

Todos os prismas possuem área da base, área lateral, área total e volume. Todas essas medidas dependem do formato do polígono que se encontra nas bases; por exemplo, os prismas acima possuem em sua base um pentágono, portanto, para calcularmos a área dessa base devemos determinar a área do pentágono. No caso do prisma pentagonal reto, as faces laterais constituem retângulos e a do prisma oblíquo é formada por paralelogramos.
A área total de um prisma é calculada somando a área lateral e o dobro da área da base. E o volume é determinado calculando a área da base multiplicada pela medida da altura.

Observe alguns exemplos de prismas:

Prisma Triangular Reto

Prisma Hexagonal Reto

Prisma Pentagonal Oblíquo

Prisma Quadrangular Oblíquo

A área do círculo

A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o centro e a sua extremidade. Para calcularmos a área do círculo, utilizamos a expressão matemática que relaciona o raio e a letra grega π (pi), que corresponde a, aproximadamente, 3,14.

A = π * r²

O círculo é determinado de acordo com o aumento do número de lados de um polígono. Quanto mais lados um polígono apresenta, mais ele se assemelha a um círculo. Observe as figuras na seguinte ordem: hexágono (6 lados), octógono (8 lados), dodecágono (12 lados) e icoságono (20 lados).

Vamos determinar a área de algumas regiões circulares.

Exemplo 1

Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 20 metros.

A = π * r²
A = 3,14 * 20²
A = 3,14 * 400
A = 1256 m²


Serão necessários 1256 m² de grama.


Exemplo 2

Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10 metros, e a região menor, raio medindo 3 metros.

Área da região com raio medindo 10 metros

A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 m²

Área da região com raio medindo 3 metros

A = π * r²
A = 3,14 * 3²
A = 3,14 * 9
A = 28,26 m²

Área da região em destaque
A = 314 – 28,26
A = 285,74 m²


Exemplo 3

Deseja–se ladrilhar uma área no formato circular de 12 metros de diâmetro. Ao realizar o orçamento da obra, o pedreiro aumenta em 10% a quantidade de metros quadrados de ladrilhos, afirmando algumas perdas na construção. Determine quantos metros quadrados de ladrilhos devem ser comprados.

Diâmetro igual a 12, então o raio equivale a 6 metros.

A = π * r²
A = 3,14 * 6²
A = 3,14 * 36
A = 113,04 m²

Calculando 10%
10% = 10/100
10/100 * 113,04
11,30

Total de ladrilhos a serem comprados
113,04 + 11,30
124,34 m²

Será preciso comprar 124,34 m² de ladrilhos.

Área do setor circular

O setor de um círculo é uma região delimitada por dois segmentos de retas que partem do centro para a circunferência. Esses segmentos de reta são os raios do círculo, veja a figura:



O ângulo α é chamado de ângulo central.

Dessa forma, percebemos que o setor circular é uma parte da região circular, ou seja, ele é uma fração da área do círculo. Assim podemos afirmar que a área do setor circular é diretamente proporcional ao valor de α, pois a área de todo o círculo é diretamente proporcional a 360º.

Assim podemos montar a seguinte relação (regra de três):

Área do setor ---------- α
Área do círculo -------- 360°

Asetor = α
πr² 360°

Asetor . 360° = α . πr²

Asetor = α . πr²
360°

Exemplo: Determine a área do setor circular de raio 6cm cujo ângulo central mede:

• 60°

Asetor = 60° . π6²
360°

Asetor = 60° . π 36
360°

Asetor = 6π cm²

• π/2

π/2 corresponde a 90°

Asetor = 90° . π6²
360°

Asetor = 90° . π36
360°

Asetor = 9π cm²

Medindo a área do arco de um círculo

A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas partes, as quais recebem o nome de arcos (partes de um círculo). Os arcos de uma região circular são determinados de acordo com a medida do ângulo central, e é com base nessa informação que calcularemos a área de um segmento circular.

Uma volta completa no círculo corresponde a 360º, valor que podemos associar à expressão do cálculo da área do círculo, π * r². Partindo dessa associação podemos determinar a área de qualquer arco com a medida do raio e do ângulo central, através de uma simples regra de três. Observe:

360º ------------- π * r²
θº ------------------ x

onde:
π = 3,14
r = raio do círculo
θº = medida do ângulo central
x = área do arco

Exemplo 1

Determine a área de um segmento circular com ângulo central de 32º e raio medindo 2 m.
Resolução:

360º ------------- π * r²
32º ------------------ x

360x = 32 * π * r²
x = 32 * π * r² / 360
x = 32 * 3,14 * 2² / 360
x = 32 * 3,14 * 4 / 360
x = 401,92 / 360
x = 1,12

A área do segmento circular possui aproximadamente 1,12 m².



Exemplo 2

Qual a área de um setor circular com ângulo central medindo 120º e comprimento do raio igual a 12 metros.

360º ------------- π * r²
120º ------------------ x


360x = 120 * π * r²
x = 120 * π * r² / 360
x = 120 * 3,14 * 12² / 360
x = 120 * 3,14 * 144 / 360
x = 54259,2 / 360
x = 150,7

A área do setor circular citado corresponde, aproximadamente, a 150,7 m².

Área da coroa circular

Considere uma circunferência inscrita em outra circunferência, ou seja, duas circunferências concêntricas (mesmo centro), a região plana delimitada por elas é chamada de coroa circular.

Veja ilustrações abaixo:



Assim, teremos dois raios: um da circunferência maior e outro da menor.



Pela figura podemos dizer que a área da coroa circular será igual à diferença da área dos dois círculos que formam a coroa:

Acoroa = Acírculo maior – Acírculo menor

Acoroa = (π . R2) - (π . r2)

Acoroa = π . (R2 - r2)

Exemplo: Determine a área da superfície colorida:



AC = AO/2
AO = 10

Como a região colorida é 1/4 da coroa circular, teremos que dividir por 4 a área total da coroa:

Acolorida = π(R2 - r2)
4

Acolorida = π(152 - 102)
4
Acolorida = π (225 – 100)
4
Acolorida = π 125
4
Acolorida = 125π cm2
4

Exemplo: A região colorida na figura abaixo tem 32 π/25 m2 de área. Se o raio do arco mede 4m, quanto mede o raio do menor?



360° : 45° = 8, isso significa que a parte pintada corresponde a 1/8 da coroa circular, assim podemos dizer que a coroa terá área igual a:

A coroa = 32 π/25 . 8 = 256 π / 25

Para descobrir o valor do raio menor basta aplicar a fórmula e fazer as devidas substituições:

Acoroa = π . (R2 - r2)

256 π / 25 = π . (42 - r2)

256 π / 25 = π . (16 – r2)

10,24 = 16 – r2

10,24 – 16 = – r2 (-1)

-10,24 + 16 = r2

5,76 = r2

2,4 = r

Combinação

Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:

Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:

Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis.

Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.


Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas?
Resolução
O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:

Poderão ser formadas 4060 equipes.

Arranjos

A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.

Arranjos são agrupamentos que a ordem dos seus elementos faz a diferença, por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1,2 e 3} são:
312, 321, 132, 123, 213, 231
Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos com uma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto.

Veja o exemplo abaixo:

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.



Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos:

A_3,2 = 3 . 2 . 1 = 6

Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo:

Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos.

Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.

Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p

A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:



Exemplo 2:
Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?

Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula

A _{n , p} = n!
(n – p)!

Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480.

Permutação

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.
n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1
Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?
Resolução:
Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.
P = 4! = 24

Exemplo 2
De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
Resolução:
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.
P = n!
P = 5!
P = 5*4*3*2*1
P = 120
Portanto, o número de posições possíveis é 120.

Exemplo 3
De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:
a) em qualquer ordem
Resolução
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades

b) iniciando com homem e terminando com mulher
Resolução
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:
Seis homens aleatoriamente na primeira posição.
Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6*6) * 10!
P = 36*10!
P = 130.636.800 possibilidades

Desafio !

Quem escreve todos os números inteiros de 1 a 100
quantas vezes escreve o número 9?

R: Apesar de ser conhecida muita gente erra essa:
20 vezes (9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,
94,95,96,97,98,99)

Rafael Bombelli

Algebrista italiano nascido em Bologna, o mais importante da história da matemática da Itália, pioneiro no estudo sobre os números imaginários: sua principal publicação sobre álgebra, Álgebra, composto de cinco volumes, e com os livros IV e o V estivessem incompletos, só foi editada (1573) no ano seguinte à sua morte.

O mais velho dos seis filho de Antonio Mazzoli, cuja família havia chegado a Bologna no século anterior (1443). Com o controle da cidade tomado de Giovanni II Bentivoglio pelo papa Júlio II (1506), seu pai envolveu-se numa tentativa de retomado do poder pelos antigos governantes, os Bentivoglios, porém foram derrotados (1508), os cabeças dos Bentivoglios executados, sua família exilada e todos os bens confiscados.

Após vários anos de exílio os Mazzoli foram perdoados e Antonio Mazzoli pode voltar para Bologna, recuperar as propriedades da família e se tornou um bem-sucedido negociante no ramo de lãs. Embora não tenha tido educação universitária, mudou seu nome para Bombelli, na tentativa de disfarçar sua descendência e, depois de várias atividades menores, passou a trabalhar para um nobre romano, Alessandro Rufini, futuro bispo de Melfi.

Neste período interessou-se por matemática e envolveu-se na coqueluche da época que era a solução das cúbicas e quárticas, envolvendo del Ferro, Fior, Tartaglia, Cardano e Ferrari, teminando com o encontro entre Ferrari e Tartaglia, em Milão (1548). Estudou matemática com o professor Pier Francesco Clementi (1548), que era ligado ao papado, e quando seu patrão adquiriu os direitos sobre a região do Val di Chiana (1549), que passara a pertencer aos Estados Papais, ele foi encarregado de demarcar as fronteiras (1551-1555), quando teve de interromper os serviços por causa de uma reclamação dos vizinhos fronteiriços. Foi nesse período, enquanto aguardava o recomeço das demarcações, que resolveu escrever seu famoso livro de álgebra, partindo dos estudos de Cardano.

Ele começou a escrevê-lo quando o trabalho em Val di Chiana ainda estava suspenso (1557). Quando o trabalho recomeçou (1560) o livro ainda estava sendo escrito. Após uma visita ao professor da Universidade de Roma, Antonio Maria Pazzi, este lhe mostrou um manuscrito de Diofanto, Aritmética, que o deixou encantado e os dois resolveram fazer uma tradução, porém no seu livro III, a despeito de 143 dos 272 problemas existentes serem baseados nos escritos de Diofanto, ele não deu os devidos créditos ao grande matemático grego.

Desafortunadamente morreu, provavelmente em Roma, antes de completar os livros IV e V, porém sua criação mudou a história da álgebra. O pesquisador Bortolotti encontrou seus manuscritos numa biblioteca de Bologna (1923) e republicou seus cinco livros (1929), uma contribuição fundamental para o estudo dos números complexos. Em sua álgebra ele escreveu por exemplo:

MAIS vezes MAIS é igual a MAIS;
MENOS vezes MENOS é igual a MAIS;
MAIS vezes MENOS é igual a MENOS;
MENOS vezes MAIS é igual a MENOS;
+RAIZ QUADRADA DE -n . +RAIZ QUADRADA DE -n = - n;
+RAIZ QUADRADA DE -n . - RAIZ QUADRADA DE -n = +n;
- RAIZ QUADRADA DE -n . +RAIZ QUADRADA DE -n = +n;
- RAIZ QUADRADA DE -n . - RAIZ QUADRADA DE -n = - n.

Exemplos das notações empregadas por Bombelli

Em seu trabalho descreveu a adição, subtração e multiplicação dos números complexos e forneceu a correta solução das cúbicas empregando a fórmula Cardan-Tartaglia sempre que ocorressem situações com raízes quadradas de números negativos. Outra admirável contribuição do autor foi a larga, prática e renovadora notação empregando símbolos em suas expressões matemáticas. Com menos projeção também exerceu engenharia e arquitetura, principalmente em obras de pontes e drenagem de pântanos.

Tabela traduzida do site TURNBULL WWW SERVER:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

Fonte: http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/

ROBERT RECORDE

Robert Recorde foi um matemático inglês, filho de Thomas Recorde e Rose Jones. Nasceu no ano de 1510 em Tenby, Wales (Inglaterra), e morreu em 1558 in Londres. É bastante conhecido por ter criado o sinal de igualdade (=), no ano de 1557. O símbolo de igualdade nem sempre foram os traços paralelos a que tanto estamos acostumados. No século XVI, François Viète foi o primeiro a usar a palavra aequalis, e mais tarde o sinal ~, para denotar a igualdade. No entanto, foi Robert Recorde que inventou o sinal =.

Em seu gabinete de trabalho, iluminado pela luz de uma vela, Robert Recorde estava debruçado sobre uma folha repleta de números e letras, com uma pena na mão. Tomando sua decisão, mergulhou a pena no tinteiro e desenhou um tracinho horizontal. Bem acima, desenhou um segundo traço do mesmo comprimento, rigorosamente paralelo.

____
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Colocou a pena sobre a mesa, pegou a folha e ergueu-a esticando bem os braços. Ficou satisfeito com o sinal que havia criado. E com razão, visto que diante dele estava o que se tornaria o mais célebre sinal da matemática, o de igualdade. Pouco depois, quando o sinal já circulava no mundo dos matemáticos, interrogaram Recorde sobre o porquê da escolha. Ele justificava:

"Se escolhi um par de paralelas, é porque elas são duas linhas gêmeas, e nada é mais semelhante que dois gêmeos".

Não sabe-se exatamente os tópicos que ele estudou, mas sabe-se que obteve o grau de B.A. em 1531, e naquele ano foi eleito membro do All Souls College, em Oxford. Robert Recorde praticamente estabeleceu a escola inglesa de matemáticos, fazendo a introdução da álgebra na Inglaterra.

Escreveu vários livros-texto elementares, e fez isso com uma política bastante deliberada. Tinha a idéia de produzir um curso completo de instrução matemática, e escreveu esses livros na ordem na qual ele achava que deveria ser estudada em um curso de matemática. Ele queria que esse curso estivesse disponível para qualquer pessoa, e não somente para poucos homens que podiam ler em latim ou grego. Então, ele escreveu todos esses livros em inglês e, tentando usar expressões claras e simples. Para isso, introduziu novas palavras inglesas equivalentes aos termos em latim ou grego em uso na época.

As idéias de Recorde eram desenvolvidas claramente, passo a passo, com os pontos difíceis sendo guardados até que o estudante obtivesse experiência suficiente para entendê-los. Em 1543, Recorde publicou The Grounde of Artes, um livro de aritmética de bastante sucesso:

...teaching the perfect work and practice of Arithmeticke etc.

nas próprias palavras de Recorde. O livro abordava operações com números arábicos, computação com contadores, proporções, regra de três, tudo sendo estudado aritmeticamente com números naturais. Houve uma segunda e uma terceira edição em 1549 e 1550. Em 1552, Recorde publicou também uma segunda versão ampliada do The Grounde of Artes, estendendo o trabalho da primeira edição.

Em 1551, Recorde escreveu a obra Pathwaie to Knowledge, que alguns consideravam como uma versão resumida dos "Elementos" de Euclides. Foi o único dos seus livros que ele escreveu na forma de diálogo entre mestre e estudante. Ele explicava porque os teorema são verdadeiros e dava diversos exemplos para fazer com que o estudante entendesse não só o que estava sendo ensinado, mas também porque aquilo estava sendo ensinado.

Em 1556 publicou The Castle of Knowledge, onde apresentou uma elementar introdução à versão de Ptolomeu sobre astronomia. Foi, portanto, um trabalho matemático sobre a esfera, e Recorde certamente leu os trabalhos de Ptolomeu, Proclus, Sacrobosco e Oronce Fine antes de escrevê-lo.

Em relação ao sinal de igual (=), ele apareceu no seu livro The Whetstone of Witte, publicado em 1557.

Fonte: Somatematica

Notação Científica

A notação científica serve para expressar números muito grandes ou muito pequenos. A segredo é multiplicar um numero pequeno por uma potência de 10.

A forma de uma Notação científica é: m . 10 ^e, onde m significa mantissa e E significa ordem de grandeza. A mantissa SEMPRE será um valor em módulo entre 1 e 10.

Transformando
Para transformar um numero grande qualquer em notação cientifica, devemos deslocar a vírgula para a esquerda até o primeiro algarismo desta forma:

200 000 000 000 » 2,00 000 000 000

note que a vírgula avançou 11 casas para a esquerda, entao em notação cientifica este numero fica: 2 . 10¹¹.

Para com valores muito pequenos, é só mover a virgula para a direita, e a cada casa avançada, diminuir 1 da ordem de grandeza:

0,0000000586 » movendo a virgula para direita » 5,86 (avanço de 8 casas) » 5,86 . 10^-8

-12.000.000.000.000 » -1,2 . 10¹³

Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)ⁿ , sendo n um número natural .

Exemplo:
B = (3x - 2y)⁴ ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Nota 1:
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)² = a² + 2ab + b²
b) (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³
c) (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴
d) (a + b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Nota 2:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a³b² (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)⁷ será:
(a + b)⁷ = a⁷ + 7 a⁶b + 21 a⁵b² + 35 a⁴b³ + 35 a³b⁴ + 21 a²b⁵ + 7 ab⁶ + b⁷

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a²b⁵) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)ⁿ é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de
(a + b)ⁿ são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)ⁿ é igual a 2ⁿ .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n é dado por

Tp+1 = Cn,p . an - p .bp (Fórmula do Termo geral de um binómio de Newton).

onde Cn,p = n! / [(n-p)! . p!] .

Obs :

1) o desenvolvimento do binómio (a + b)n é um polinómio.

2)o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .

3) os coeficientes dos termos equidistantes (mesma distancia) dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .

4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .

Thomas Harriot

Renomado matemático algebrista e astrônomo inglês nascido em Oxford, fundador da escola inglesa de álgebra e introdutor de vários símbolos e notações empregados em álgebra ainda hoje como os sinais > (maior que) e < (menor que). Recebeu o bachelor's degree da University of Oxford (1580) e ingressou na vida profissional como matemático, astrônomo e pesquisador em ciências naturais financiado ao longo de sua vida científica por várias fontes como Sir Walter Raleigh, Henry Percy e o Nono Conde de Northumberland.
Pensando em explorar terras na América, foi enviado por Sir Walter Raleigh como conselheiro científico (1585-1586) em uma expedição a Roanoke Island, na costa americana de Carolina do Norte.
Das observações desta viagem publicou A Briefe and True Report of the New Found Land of Virginia (1588), reimpresso várias vezes e tornou-se o principal cientista no círculo de Raleigh e passou a recebeu uma pensão do Duque de Northumberland. Suas publicações foram prejudicadas por problemas políticos na Inglaterra, no reinado de Elizabeth I.
Sua principal obra matemática veio a ser publicada postumamente: Ars analyticae praxis (1631), demonstrando que as equações podiam ter raízes negativas e imaginárias Também construiu telescópios, o primeiro foi feito na mesma época que o de Galileu, e estudava os cometas.
Descobriu as manchas solares e os satélites de Júpiter independentemente de Galileu porém não publicou suas descobertas. Descobriu a lei da refração (curvatura da luz) antes do notável matemático holandês Willebrod van Roijen Snell ou o eminente matemático e filósofo francês René Descartes, mas deixou de publicar sua descoberta. Morreu em Londres e sobre sua viagem a América do Norte (1585) como mensurador, publicou True report of the New-found land of Virgínia (1586). Também com seus alunos fez o estudo da topografia lunar, mas seu mapa da lua só foi publicado muito depois de sua morte (1965) como também sua descrição da topografia lunar (1788).

Grandes Matemáticos

Matemático e físico grego. Nascido em Siracusa-Sicília, por volta do ano 287 a.C, o seu nome é originário do grego Arkhimedes. Quando jovem muda-se para Alexandria, centro da atividade matemática, onde continua as aulas de Euclides. De volta à sua pátria, entrega-se por completo aos estudos científicos.

Segundo narração de Plutarco, general romano, refere as passagens relativas à luta travada pelos romanos para a posse da Sicília, especialmente para a conquista da cidade de Siracusa. Quando os Romanos atacaram Siracusa, Arquimedes dirige a defesa da sua cidade, para o que se serve de máquinas de guerra (catapultas, etc.). Após um longo assédio, as tropas de Marcelo entram na cidade. Segundo Plutarco, apesar das ordens de Marcelo para respeitar a vida do sábio, um soldado romano, irritado porque Arquimedes, absorto na resolução de um problema, não responde às suas intimações, mata-o. Cícero, questor da Sicília, encontra o seu túmulo, onde figura uma esfera inscrita num cilindro.

São bastantes as obras de Arquimedes que chegaram até aos nossos dias. Na matemática, destacam-se Da Esfera e do Cilindro, A Medida do Círculo, Dos Esferóides e dos Conóides e Das Linhas Espirais. Nas obras de mecânica há que citar, Do Equilíbrio dos Planos e Dos Corpos Flutuantes. Outros achados importantes, são A Quadratura da Parábola e O Método.

DEdicou-se a aritmética, mecânica e hidrostática. Atribuem-se a Arquimedes a invenção do parafuso sem fim, da espiral ou parafuso de Arquimedes (aparelho para elevar água por meio de um tubo enrolado em hélice à volta de um cilindro giratório sobre o seu eixo), de diversas combinações de roldanas para levantar pesos, da roda dentada, relação da circunferência com o diâmetro (o número pi), a quadratura da parábola, as propriedades das espirais, etc.

Há uma célebre anedota da Antiguidade relacionada com os estudos hidrostáticos de Arquimedes. Trata-se do chamado problema da coroa. Hiero, rei de Siracusa, encomenda uma coroa que paga como se fosse de ouro puro, mas posteriormente suspeita que o ourives fez mistura do ouro com prata. Arquimedes resolve o problema determinando o volume da coroa, para o que a submerge num recipiente completamente cheio de água e pesa de seguida o líquido derramado. Averigua assim a densidade da coroa e calcula a proporção de prata que o desleal ourives utiliza. Conta-se que Arquimedes inventa este procedimento quando, ao se introduzir num recipiente completamente cheio de água para se lavar, parte dela transborda. Sai então do banho a gritar Eureka! (que em grego significa «Achei!»). O clássico enunciado deste princípio, chamado de Arquimedes, é o seguinte: todo o corpo submergido num fluido experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Formula também a teoria da alavanca simples, resumida numa frase célebre: «Dai-me um ponto de apoio e levantarei a Terra.

Equações modulares

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir:

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4.

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral:

Exemplos
a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10

c) |x – 4| =
x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4
– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x <1


Equações Modulares

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.

Exemplos de equações modulares:

|x| = 7

|x + 6| = x + 6

|x – 3| + 4x = 7

|x + 2| = 4

Formas de resolução


Exemplo 1

|x + 2| = 4
Condições:
x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4
Resolução:
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6

S = {–6; 2}


Exemplo 2

|4x – 8| = x + 1
Condições:
|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1.

|4x – 8| = x + 1
4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1)

Resolução:
4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3}


Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3|

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível)

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1

Solução: {1}


Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais)
x’ = 1 e x” = 4

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais)

Solução: {1,4}

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-modular.htm

MATEMÁTICA DE MENDIGO

MATEMÁTICA DE MENDIGO

Tenho que dar os parabéns ao estagiário que elaborou essa pesquisa, pois o resultado que ele conseguiu obter é a mais pura realidade.

Preste atenção...

Um sinal de trânsito muda de estado em média a cada 30 segundos (trinta segundos no vermelho e trinta no verde). Então, a cada minuto um mendigo tem 30 segundos para faturar pelo menos R$ 0,10, o que numa hora dará: 60 x 0,10 = R$6,00.

Se ele trabalhar 8 horas por dia, 25 dias por mês, num mês terá faturado: 25 x 8 x 6 = R$ 1.200,00.

Será que isso é uma conta maluca?

Bom, 6 reais por hora é uma conta bastante razoável para quem está no sinal, uma vez que, quem doa nunca dá somente 10 centavos e sim 20, 50 e às vezes até 1,00.

Mas, tudo bem, se ele faturar a metade: R$ 3,00 por hora terá R$600,00 no final do mês, que é o salário de um estagiário com carga de 35 horas semanais ou 7 horas por dia.

Ainda assim, quando ele consegue uma moeda de R$1,00 (o que não é raro), ele pode descansar tranqüilo debaixo de uma árvore por mais 9 viradas do sinal de trânsito, sem nenhum chefe pra 'encher o saco' por causa disto.

Mas considerando que é apenas teoria, vamos ao mundo real.

De posse destes dados fui entrevistar uma mulher que pede esmolas, e que sempre vejo trocar seus rendimentos na Panetiere (padaria em frente ao CEFET ). Então lhe perguntei quanto ela faturava por dia. Imagine o que ela respondeu?

É isso mesmo, de 35 a 40 reais em média o que dá (25 dias por mês) x 35 = 875 ou 25 x 40 = 1000, então na média R$ 937,50 e ela disse que não mendiga 8 horas por dia.

Moral da História :

É melhor ser mendigo do que estagiário (e muito menos PROFESSOR), e pelo visto, ser estagiário e professor, é pior que ser Mendigo..

Se esforce como mendigo e ganhe mais do que um estagiário ou um professor.

Estude a vida toda e peça esmolas; é mais fácil e melhor que arrumar emprego.

E lembre-se :

Mendigo não paga 1/3 do que ganha pra sustentar um bando de ladrão.

Viva a Matemática.

Que país é esse?

Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares

Animações

Sólidos e Planificações

Os sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos.

Esses sólidos foram estudados por Arquimedes (287 - 252 a.C.), no entanto, os escritos originais deste autor estão perdidos. O quinto livro de “Mathematical Collection”, do matemático grego Pappus de Alexandria (cerca de 290 a 350 d.C.), faz referência aos estudos de Arquimedes sobre esses sólidos.

Os sólidos arquimedianos foram gradualmente sendo redescobertos durante o Renascimento, por vários artistas. Em 1619, na obra "Harmonices Mundi", Johanes Kepler (1571-1630) apresentou um estudo sistematizado sobre essa categoria de sólidos.

Sete dos treze arquimedianos (tetraedro truncado, cubo truncado, cuboctaedro, octaedro truncado, icosaedro truncado, icosidodecaedro, dodecaedro truncado) podem ser obtidos truncando um poliedro platônico. Três séries de truncamento geram esses sete arquimedianos:

• cubo (platônico) – cubo truncado (arquimediano) – cuboctaedro (arquimediano) – octaedro truncado (arquimediano) – octaedro (platônico) (Figura 1).

Figura 1: Truncamento de vértices a partir do cubo

• tetraedro (platônico) – tetraedro truncado (arquimediano) - octaedro (platônico) (Figura 2).

Figura 2: Truncamento de vértices a partir do tetraedro

• icosaedro (platônico) – icosaedro truncado (arquimediano) – icosidodecaedro (arquimediano) – dodecaedro truncado (arquimediano) – dodecaedro (platônico).

Figura 3: Truncamento de vértices a partir do icosaedro

Para obter o cuboctaedro truncado, o rombicuboctaedro, o icosidodecaedro truncado e o rombicosidodecaedro não é suficiente o truncamento. É preciso combinar truncamento com um processo que transforme os retângulos, resultantes do truncamento, em quadrados (Figuras 4 e 5).

Figura 4: Processo de obtenção do Cuboctaedro Truncado e do Rombicuboctaedro

O processo mostrado na Figura 4 envolve truncamento de vértices. De maneira semelhante, porém envolvendo truncamento de arestas, é possível obter o rombicuboctaedro diretamente do cubo ou do octaedro.

Figura 5: Processo de obtenção do Icosidodecaedro Truncado e do Rombicosidodecaedro

O processo mostrado na Figura 5 envolve truncamento de vértices. De maneira semelhante, porém envolvendo truncamento de arestas, é possível obter o rombicosidodecaedro diretamente do icosaedro ou do dodecaedro.

Restam o cubo snub e dodecaedro snub, que não podem ser obtidos como os anteriores. Resumidamente, o processo de obtenção desses sólidos envolve mover, respectivamente, as faces do cubo e do dodecaedro para fora, de modo que estas não mais se toquem. Promover uma pequena rotação em seus centros (tudo no sentido horário ou tudo no sentido anti-horário) até que os espaços no meio possam ser preenchidos com triângulos eqüiláteros.

Por outros processos, o cubo snub e dodecaedro snub também podem ser obtidos respectivamente do octaedro e do icosaedro. Daí, também serem chamados de cuboctaedro snub e icosidodecaedro snub, respectivamente.

Cada um desses dois arquimedianos tem duas formas em que cada uma é a imagem num espelho da outra. São formas enantiomórficas, como uma mão vista ao espelho. Se essas formas fossem contadas separadamente, teríamos 15 arquimedianos. Mas, em geral, são considerados somente 13.

Figura 6: As duas formas do Cubo Snub (à esquerda) e do Dodecaedro Snub (à direita).

Os prismas cujas faces laterais são regulares são, por definição, arquimedianos. Do mesmo modo, também os antiprismas de faces regulares são arquimedianos. No entanto, essas duas categorias de poliedros são infinitas e, em geral, não são incluídas na família dos arquimedianos.

Geralmente, utiliza-se a configuração do vértice para designar um sólido arquimediano. Por meio dessa notação exprime-se a seqüência das faces em torno de cada vértice. Por exemplo, a notação (3, 4, 3, 4) é referente ao cuboctaedro e significa que, em torno de cada vértice desse sólido, existe a seqüência de faces triângulo, quadrado, triângulo, quadrado (Figura 7).

Figura 7: Cuboctaedro (3,4,3,4).

Fonte :http://www.es.cefetcampos.br/poliedros/solidos_arquimedes.html

Como se calcula a área e perímetro de um quadrado.

A área é a quantidade de espaço na superfície. Calcular área é um dos exercícios mais pedidos em Matemática. Na Olimpíada de Matemática, Enem e vestibulares é comum encontrar questões que envolvam como calcular área.

Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado. Exemplo: O lado de um quadrado mede 8 cm.

A = L x L
A= 8×8
A= 64 cm

Perímetro

Perímetro é a soma dos lados de uma figura. Ainda usando as medidas do exemplo acima, vamos calcular qual é o perímetro de um quadrado.

P= L + L + L + L = 4xL
P= 4×8
P= 32

Portanto, o perímetro do quadrado do exemplo é 32 cm e área é 64 cm.