Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, presentes em pequenos santuários budistas japoneses.

Essas tabletas visíveis hoje são em sua maioria do século , mas sabe-se que a prática já era corrente em meados do século . O conteúdo e a forma dos sangaku mudaram pouco desde época em que surgiram: trata-se de enunciados de problemas, propostos por um indivíduo, com ou sem solução. Eles são relativamente sucintos e inspirados, na maioria dos casos, em composições geométricas complexas, nas quais quadrados, círculos, elipses, esferas ou cubos se cruzam ou tangenciam harmoniosamente.

Uma possível explicação do papel dessas tabuletas, foi a de divulgar os jovens talentosos isolados e desprovidos de recursos. Para esses últimos, pendurar a resolução de um problema difícil num lugar muito visitado era uma maneira eficaz de atrair a atenção para eles. Um exemplo é o caso do matemático Aida Yasuaki no momento em que decidiu se tornar conhecido na capital.

Neste post, veremos alguns sangakus com soluções e outros que deixarei como desafio para os meus leitores. Vejamos então alguns problemas:

Os círculos azul, laranja e vermelho são tangentes entre si dois a dois, e tangentes a uma reta comum. Determine o raio do círculo menor em função dois outros dois círculos.

Resolução: Sejam e os raios dos círculos de centros , e respectivamente. Segue da figura abaixo que a hipotenusa do triângulo retângulo é e o cateto menor é .


Assim, pelo teorema de Pitágoras,

Analogamente, e . Logo,

Dividindo ambos os membros por , segue que

Dado dois círculos de raios inscritos iguais como mostrado na figura abaixo, prove que , onde é o semi-perímetro do .


Resolução: Na figura acima, é o inraio do . Sejam e o semi-perímetro dos e respectivamente, que aliás possuem o mesmo inraio denotado por . Fazendo , segue que . Por outro lado, pela igualdade de áreas, . Portanto,

Por semelhanças de triângulos,

De e , segue que

Dessas equações obtemos o sistema na variável , ou seja:

Somando essas equações, temos:

Logo,

Problemas Propostos:

A corda é perpendicular ao diâmetro de um círculo de centro . é um ponto de entre e . intercepta o círculo em . Seja o raio do círculo inscrito no triângulo curvilíneo (conforme a figura abaixo). Prove que

Considere o quadrado abaixo de lado e diagonal . Os raios inscritos dos triângulos e são iguais a . Escreva em função do lado .

Sugestão: Sendo retângulo, mostre que

Por outro lado, sendo os raios inscritos nos dois triângulos iguais, segue que do Exemplo 2) que , onde é o semi-perímetro do . Usando o fato que , segue o resultado.

Referências Bibliográficas:
- Unger, J. Marshall. A Collection Sangaku Problems. Department of East Asian Languages & Literatures.The Ohio State University.
- Horiuchi Annick. Geometria a Serviço dos Deuses no Japão. Etnomatemática: Edição Especial da Scientif American Brasil.

Fonte:http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/03/os-sangakus-e-matematica-japonesa.html

Cilindro inscrito na esfera

Cilindro inscrito na esfera

Considerando r e h, a altura do cilindro e o raio da base incluso na esfera de raio r.

Ao dividir o cilindro em partes e colocá-lo em um plano, o mesmo possuirá um retângulo com medidas 2r e h inscrito no circulo de raio R.

Desta forma,

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/cilindro-inscrito-na-esfera.html

Projeções ortogonais

Projeções ortogonais

Projeções de um ponto

Chamamos a projeção ortogonal de um ponto num plano de “pé da perpendicular” ao plano pelo ponto.




P é o ponto considerado a projeção ortogonal de P em α. Assim, denominamos ponto α de plano de projeção e a reta perpendicular r de reta projetante.

Projeção de uma figura

O agrupamento das projeções ortogonais dos pontos da figura é a projeção ortogonal da mesma num plano.

Vejamos o modelo:

Na figura, o retângulo é a projeção ortogonal do cilindro num plano paralelo ao eixo. Já o círculo é a projeção do mesmo cilindro num plano paralelo a base. Assim:





Projeção de uma reta

A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta neste plano.

I) Uma vez que a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal será um ponto.



Na imagem, P forma a projeção ortogonal de r em α

II) Caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal projeção ortogonal será outra reta.



Na imagem, r forma projeção ortogonal de r em α.

Ângulo entre reta e plano

Uma vez que reta for perpendicular a um plano, o ângulo entre eles será reto. Assim, caso a reta seja obliqua em comparação ao plano, o ângulo entre eles será o ângulo que ela formará com sua projeção ortogonal. Desta forma:




Na imagem, obtemos:

A reta s estabelece ângulo reto com α.
O ângulo θ que a reta r estabelece com o plano α é o ângulo que a reta r estabelece com sua projeção ortogonal r’.

Retas de maior declive

Denominamos retas de maior declive de um plano α em comparação a um plano β às retas de α que constituem o maior ângulo existente com β. Comprova-se assim que os dois planos são secantes as retas de maior declive de um em relação ao outro são perpendiculares à intersecção.



Na imagem, r forma uma reta de maior declive de α em comparação a β.

Ângulo entre planos

O ângulo entre dois planos é o ângulo que uma reta de maior declive de um forma com o outro.



Na imagem:

r representa uma reta de maior declive de α em comparação a β.

r’ representa a projeção ortogonal da reta r em β.

θ representa o ângulo entre α e β.

Fonte :http://www.colegioweb.com.br/matematica/projecoes-ortogonais.html

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Gauss é considerado um dos maiores matemáticos da história. Nasceu em 1777 em Brunswick, Alemanha, e desde cedo mostrou grande habilidade para a matemática. São muitas as suas contribuições nos campos da teoria dos números, dos números complexos, da geometria e da álgebra. A sua tese de doutoramento foi a primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra. No domínio da astronomia, Gauss interessou-se pelo estudo das órbitas planetárias e pela determinação da forma da Terra, e foi diretor do observatório astronômico da Universidade de Göttingen. Desenvolveu um método para calcular, com grande precisão, os parâmetros de uma órbita planetária a partir de apenas três observações da posição do planeta. A partir de 1831, e em conjunto com o físico Wilhelm Weber, desenvolveu o estudo teórico e experimental do eletromagnetismo. A contribuição de Gauss para a determinação do campo magnético terrestre é reconhecida na unidade de campo magnético que leva o seu nome.

Fonte : http://paginas.fe.up.pt/~villate/electromagnetismo/pioneiros/gauss.html

Francesco Bonaventura Cavalieri

Francesco Bonaventura Cavalieri
(Matemático e astrônomo italiano )
1598 - 1647

Matemático e astrônomo italiano nascido em Milão, Ducado de Milão Império dos Habsburgos, hoje Itália, professor da Universidade de Bologna, inventor do método dos indivisíveis (1635) iniciando uma nova era para a geometria e abrindo o caminho para a introdução do cálculo integral. Entrou para a ordem jesuíta em Milão (1615) e transferiu-se para o monastério de Pisa (1616), onde se interessou por matemática após conhecer Galileu através do Cardeal Federico Borromeo. Orientado por Benedetto Castelli, lecturer em matemática da Universidade de Pisa. Tornou-se assistente do Cardeal Federico Borromeo no monastério de Milão (1621). depois de ensinar teologia tornou-se prior de São Pedro, em Lodi (1623). Após três anos em Lodi, ele foi para o monastério de Parma, foi nomeado para cadeira de matemática em Bologna (1629), quando já estava desenvolvendo a famosa teoria dos indivisíveis, que apresentou no seu Geometria indivisibilis continuorum nova (1635). Essa teoria, depois de muitos séculos, desde os tempos de Arquimedes, simplificava o cálculo de áreas e volumes de várias figuras geométricas. Também foi responsável pela introduçào na Itália, do logarítmo de funções trigonométricas para o emprego em cálculos sobre astronomia, com o livro Directorium Generale Uranometricum. Também escreveu sobre seções cônicas, trigonometria, ótica, astronomia e astrologia. Correspondeu-se centenas de vezes com muitos matemáticos da época como Galileu, Mersènne, Renieri, Rocca, Torricelli e Viviani. Seu último livro foi Trattato della ruota planetaria perpetua (1646), seu mais famoso discípulo foi Stefano degli Angeli e faleceu em Bologna, Estados Papais, hoje Itália.

Fonte :http://www.netsaber.com.br/biografias/ver_biografia_c_2006.html

Seção da Esfera

Seção da Esfera

Toda seção plana de uma esfera é um círculo.

Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção, vale a relação


Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera.



Área da esfera

A área de uma superfície esférica de raio r é igual a 4r².

A = 4r²

Volume da esfera

Aplicação

Uma esfera é secionada por um plano a 8cm do centro; a seção obtida tem área 36cm2.

Determinar a área da superfície da esfera e seu volume.

Solução:
Inicialmente, devemos considerar a área da seção:

36 = . s² →s = 6cm

s² = r² - d^2→ 6² = r² - 8² r = 10cm

A = 4r² = 4 . 10² →A = 400cm2

Volume da esfera

Fonte : http://www.colegioweb.com.br/matematica/secao-da-esfera.html

Desafio

Uma garrafa cheia de mel "pesa" 650 g. Essa mesma garrafa cheia de vinho "pesa" 350 g. Se o vinho é três vezes mais leve que o mel, então o "peso" em gramas, da garrafa vazia é :

a) 200

b) 250

c) 300

d) 310

e) 320


Resposta : a

Poste sua resposta no comentários !!

Teorema de Tales

AMIGOS E ALUNOS PARA MELHOR VISUALIZAÇÃO CLICAR NA IMAGEM PARA VISUALIZAÇÃO !!!
ABRAÇOS
fonte :Matemática Pensar e descobrir . O + Novo

Apótema

Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.

A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.

No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes.

Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:

a² + 2² = 4²
a² + 4 = 16
a² = 16 – 4
a² = 12
√a² = √12
a = 2√3 cm


Exemplo 2

Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10 cm.

Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:

Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8).

tg 45º = 5/a
1 = 5/a
a = 5 cm

Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras:

r² = a² + 5²
r² = 5² + 5²
r² = 25 + 25
r² = 50
√r² = √50
r = 5√2 cm

Exemplo 3

Determine a medida do apótema da pirâmide a seguir, sabendo que sua altura mede 4,8 cm e o apótema da base mede 3,6 cm.

Resolução:
O apótema de uma pirâmide é o segmento que parte do vértice até a base da lateral, formando um ângulo reto, isto é, a medida da altura da face lateral.

a² = 3,6² + 4,8²
a² = 12,96 + 23,04
a² = 36
√a² = √36
a = 6 cm

GRANDES MATEMÁTICOS

John Von Neumann

(1903-1957)
John von Neumann foi um dos matemático mais notáveis de nossos tempos. Como tantos outros matemáticos ele prestou contribuições importantes tanto à ciência quanto à matemática. Von Neumann se sentia particularmente fascinado pelos jogos de estratégia e de acaso. Assim, não é de se surpreender, que fosse ele uma das pessoas que abrisse o novo campo da matemática chamado teoria dos jogos. Empregando as probabilidades envolvidas em um jogo de acaso e trabalhando com estratégias que produzem “vencedores” em jogos de tomar decisões, a teoria dos jogos de Von Neumann pode solucionar problemas de economia, de ciência e de estratégia militar.
Von Neumann nasceu em Budapeste, na Hungria. Aos seis anos era capaz de resolver mentalmente problemas de divisão como 78.463.215 ¸ 49.673.235. Por volta dos oito anos, obteve seu diploma de cálculo na faculdade e como brincadeira podia memorizar, apenas olhando, os nomes, os endereços e números de telefone de uma coluna em uma lista telefônica. Com apenas 23 anos escreveu um livro chamado Os fundamentos matemáticos da mecânica quântica, utilizado no desenvolvimento da energia atômica.
Em 1930, von Newman foi para os Estados Unidos assumir o cargo de professor de física matemática na Universidade de Princeton. Tornou-se interessado no uso de computadores de grande escala e construiu um dos primeiros cérebros eletrônicos modernos, chamado MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Como conselheiro do governo americano na 2ª Guerra Mundial, exerceu influência, exerceu influência no projeto de armas e mísseis nucleares.
Von Neumann tinha muitos interesses intelectuais, mas seu maior divertimento era resolver problemas. Algumas vezes, enquanto viajava, ele se envolvia de tal forma com um problema que tinha de telefonar a sua esposa para descobrir por que tinha feito aquela viagem.

(www.netescola.pr.gov.br)