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Racionalização de denominadores

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:

ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo eral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

Equações Algébricas Fracionárias

Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:

Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?

Desafio

DESAFIOS MATEMÁTICO
"Desafio: O gavião e as pombas"

Estava passando uma revoada de pombas próximo a um gavião. Este disse: "Como vão minhas 100 pombas?"
Elas responderam: Não somos 100. Para sermos, precisamos de outro tanto + a metade + um quarto e mais o senhor.

Quantas pombas eram?

Desafio

DESAFIOS MATEMÁTICO
"Desafio da escada rolante"

Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa
escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas
pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo
um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois
. Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus
enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível
responder a questão. Quantos degraus são visíveis
nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Grandes Matemáticos

Estamos em 1175 na cidade de Pisa. Acaba de nascer o filho de um mercador que é batizado com o nome de Leonardo de Pisa mas que, com o passar do tempo, vai tornar-se famoso sob o nome de Fibonacci. A ocupação de seu pai leva-o a viajar por diversas cidades do Próximo e do Médio Oriente. Durante as viagens, Fibonacci assimila conhecimentos matemáticos do mundo árabe e apercebe-se da beleza e do valor dos numerais hindu-árabes. É com muita determinação que começa a defender a sua adopção. Os mercadores italinos mostram-se renitentes à modificação dos seus processos tradicionais. No entanto, através dos trabalhos de Fibonacci, bem assim como de outros importantes matemáticos, nomeadamente Alexandre de Villedieu e John de Halifax, o sistema hindu-árabe acaba por ser aceite e implementado. Em 1202 Fibonacci regressa a Pisa. É aqui, na sua terra natal que publica o célebre Liber Abaci. Em 1250 é com grande pena que vimos Fibonacci "partir". Resta-nos agradecer-lhe os contribuiçõee preciosos que deixou à matemática.

Problemas com Frações

Existem problemas matemáticos que na sua resolução utilizamos equações, expressões numéricas, iremos trabalhar agora com problemas que envolvem frações. Perceberemos como aplicar a noção de inteiros e parte desses inteiros quando eles assumirem valores reais.

Veja alguns exemplos e as explicações passo a passo de como encontrar a solução desse tipo de problema e de como a fração pode ser encontrada em situações problemas.

Exemplo 1:

Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?

Resolução:
Esse trabalhador não trabalhou o ano inteiro, de 12 meses do ano ele trabalhou 7 meses. A fração que corresponde ao tempo que ele trabalhou é . Como a situação problema

informou que o valor recebido no 13º salário é a mesma fração do tempo trabalhado, podemos escrever que ele irá receber do salário normal. Como o salário dele é 516

reais, para descobrir quanto ele irá receber no 13º salário devemos encontrar:
de 516, então 516 : 12 = 43 e 43 x 7 = 301.

Portanto, o salário que o trabalhador irá receber no seu 13º salário será de 301 reais que corresponde a 7 meses trabalhados durante o ano.

Exemplo 2:

João Carlos é operário e seu salário é apenas 520 reais por mês. Gasta com aluguel

e com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: do seu salário

foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro?

Resolução:
Para saber se o salário de João Carlos foi suficiente para pagar todas as suas despesas é preciso encontrar o valor que ele gastou com o pagamento do aluguel, com a alimentação e com os remédios. Então, veja:
1 de 520 = 520 : 4 x 1 = 130.
4

2 de 520 = 520 : 5 x 2 = 104 x 2 = 208
5

3 de 520 = 520 : 8 x 3 = 195.
8

Concluímos que ele gastou com essas despesas um total de 130+208+195 = 533 reais. Portanto, não sobrou nada de seu salário, pelo contrário, ele ficou devendo, pois suas despesas foram 13 reais a mais que seu salário.

Geronimo Cardano

Geronimo Cardano nasceu em Pavia (Lombardia, Itália) a 24 de Setembro de 1501. Cardano era filho ilegítimo (legitimado em 1524) de Clara Micheri e do jurista e doutor matemático milanês Fazio, amigo de Leonardo da Vinci.

Cresceu no meio de maus tratos, de doenças e de muitas infelicidades; apesar disso, mostrou uma extraordinária precocidade para os estudos: era já célebre como astrólogo e mago, antes de ter dado provas da sua invulgar aptidão para o estudo das ciências naturais e da Matemática.

Em 1526, depois de ter obtido o título de doutor em Medicina na Universidade de Pádua , começou imediatamente a exercer a sua actividade de médico em Siccolongo e, mais tarde, em Pádua. Em 1534 obteve a cadeira de Matemática em Milão, mas continuou a estudar Medicina, misturada com práticas de astrologia e de magia. A sua cultura enciclopédica e a sua poderosa inteligência, se bem que aliada a sua infantilidade, permitiram-lhe escrever sobre os assuntos mais diversos.

Cardano apercebendo-se do que Nicolò Tartaglia conhecia a regra de resolução das equações de 3ºgrau, conseguiu ser dela informado sob a promessa formal de a não divulgar. Quando se apercebeu de que o bolonhês Scipião Del Ferro tinha já anteriormente descoberto a fórmula, considerou-se desligado do juramento, divulgando então a descoberta na obra Grande Arte ou as Regras Algébricas. Com este incidente ganhou em Tartaglia um inimigo mortal, cujos escritos muito contribuíram para espalhar a lenda de um Cardano desonesto e corrompido.

Em 1560 um golpe terrível atingiu-o: o filho mais velho, acusado de ter morto a mulher, foi executado em Pavia. Em 1570 o tribunal de Inquisição encarcerou-o sobre a acusação de ter tirado o horóscopo de Jesus Cristo, sendo libertado, foi todavia impedido de fazer conferências.Em 1571 estabeleceu-se em Roma, entrou nas boas graças do Papa e obtevedele uma renda vitalícia que conservou até à morte. Geronimo Cardano faleceu em Roma a 21 de Setembro de 1576