Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os Sangakus e a Matemática Japonesa

Os sangakus são tábuas comemorativas, em madeira, presentes em pequenos santuários budistas japoneses.

Essas tabletas visíveis hoje são em sua maioria do século , mas sabe-se que a prática já era corrente em meados do século . O conteúdo e a forma dos sangaku mudaram pouco desde época em que surgiram: trata-se de enunciados de problemas, propostos por um indivíduo, com ou sem solução. Eles são relativamente sucintos e inspirados, na maioria dos casos, em composições geométricas complexas, nas quais quadrados, círculos, elipses, esferas ou cubos se cruzam ou tangenciam harmoniosamente.

Uma possível explicação do papel dessas tabuletas, foi a de divulgar os jovens talentosos isolados e desprovidos de recursos. Para esses últimos, pendurar a resolução de um problema difícil num lugar muito visitado era uma maneira eficaz de atrair a atenção para eles. Um exemplo é o caso do matemático Aida Yasuaki no momento em que decidiu se tornar conhecido na capital.

Neste post, veremos alguns sangakus com soluções e outros que deixarei como desafio para os meus leitores. Vejamos então alguns problemas:

Os círculos azul, laranja e vermelho são tangentes entre si dois a dois, e tangentes a uma reta comum. Determine o raio do círculo menor em função dois outros dois círculos.

Resolução: Sejam e os raios dos círculos de centros , e respectivamente. Segue da figura abaixo que a hipotenusa do triângulo retângulo é e o cateto menor é .


Assim, pelo teorema de Pitágoras,

Analogamente, e . Logo,

Dividindo ambos os membros por , segue que

Dado dois círculos de raios inscritos iguais como mostrado na figura abaixo, prove que , onde é o semi-perímetro do .


Resolução: Na figura acima, é o inraio do . Sejam e o semi-perímetro dos e respectivamente, que aliás possuem o mesmo inraio denotado por . Fazendo , segue que . Por outro lado, pela igualdade de áreas, . Portanto,

Por semelhanças de triângulos,

De e , segue que

Dessas equações obtemos o sistema na variável , ou seja:

Somando essas equações, temos:

Logo,

Problemas Propostos:

A corda é perpendicular ao diâmetro de um círculo de centro . é um ponto de entre e . intercepta o círculo em . Seja o raio do círculo inscrito no triângulo curvilíneo (conforme a figura abaixo). Prove que

Considere o quadrado abaixo de lado e diagonal . Os raios inscritos dos triângulos e são iguais a . Escreva em função do lado .

Sugestão: Sendo retângulo, mostre que

Por outro lado, sendo os raios inscritos nos dois triângulos iguais, segue que do Exemplo 2) que , onde é o semi-perímetro do . Usando o fato que , segue o resultado.

Referências Bibliográficas:
- Unger, J. Marshall. A Collection Sangaku Problems. Department of East Asian Languages & Literatures.The Ohio State University.
- Horiuchi Annick. Geometria a Serviço dos Deuses no Japão. Etnomatemática: Edição Especial da Scientif American Brasil.

Fonte:http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/03/os-sangakus-e-matematica-japonesa.html

Cilindro inscrito na esfera

Cilindro inscrito na esfera

Considerando r e h, a altura do cilindro e o raio da base incluso na esfera de raio r.

Ao dividir o cilindro em partes e colocá-lo em um plano, o mesmo possuirá um retângulo com medidas 2r e h inscrito no circulo de raio R.

Desta forma,

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/matematica/cilindro-inscrito-na-esfera.html

Projeções ortogonais

Projeções ortogonais

Projeções de um ponto

Chamamos a projeção ortogonal de um ponto num plano de “pé da perpendicular” ao plano pelo ponto.




P é o ponto considerado a projeção ortogonal de P em α. Assim, denominamos ponto α de plano de projeção e a reta perpendicular r de reta projetante.

Projeção de uma figura

O agrupamento das projeções ortogonais dos pontos da figura é a projeção ortogonal da mesma num plano.

Vejamos o modelo:

Na figura, o retângulo é a projeção ortogonal do cilindro num plano paralelo ao eixo. Já o círculo é a projeção do mesmo cilindro num plano paralelo a base. Assim:





Projeção de uma reta

A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta neste plano.

I) Uma vez que a reta for perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal será um ponto.



Na imagem, P forma a projeção ortogonal de r em α

II) Caso a reta não seja perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal projeção ortogonal será outra reta.



Na imagem, r forma projeção ortogonal de r em α.

Ângulo entre reta e plano

Uma vez que reta for perpendicular a um plano, o ângulo entre eles será reto. Assim, caso a reta seja obliqua em comparação ao plano, o ângulo entre eles será o ângulo que ela formará com sua projeção ortogonal. Desta forma:




Na imagem, obtemos:

A reta s estabelece ângulo reto com α.
O ângulo θ que a reta r estabelece com o plano α é o ângulo que a reta r estabelece com sua projeção ortogonal r’.

Retas de maior declive

Denominamos retas de maior declive de um plano α em comparação a um plano β às retas de α que constituem o maior ângulo existente com β. Comprova-se assim que os dois planos são secantes as retas de maior declive de um em relação ao outro são perpendiculares à intersecção.



Na imagem, r forma uma reta de maior declive de α em comparação a β.

Ângulo entre planos

O ângulo entre dois planos é o ângulo que uma reta de maior declive de um forma com o outro.



Na imagem:

r representa uma reta de maior declive de α em comparação a β.

r’ representa a projeção ortogonal da reta r em β.

θ representa o ângulo entre α e β.

Fonte :http://www.colegioweb.com.br/matematica/projecoes-ortogonais.html

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Gauss é considerado um dos maiores matemáticos da história. Nasceu em 1777 em Brunswick, Alemanha, e desde cedo mostrou grande habilidade para a matemática. São muitas as suas contribuições nos campos da teoria dos números, dos números complexos, da geometria e da álgebra. A sua tese de doutoramento foi a primeira demonstração do teorema fundamental da álgebra. No domínio da astronomia, Gauss interessou-se pelo estudo das órbitas planetárias e pela determinação da forma da Terra, e foi diretor do observatório astronômico da Universidade de Göttingen. Desenvolveu um método para calcular, com grande precisão, os parâmetros de uma órbita planetária a partir de apenas três observações da posição do planeta. A partir de 1831, e em conjunto com o físico Wilhelm Weber, desenvolveu o estudo teórico e experimental do eletromagnetismo. A contribuição de Gauss para a determinação do campo magnético terrestre é reconhecida na unidade de campo magnético que leva o seu nome.

Fonte : http://paginas.fe.up.pt/~villate/electromagnetismo/pioneiros/gauss.html

Francesco Bonaventura Cavalieri

Francesco Bonaventura Cavalieri
(Matemático e astrônomo italiano )
1598 - 1647

Matemático e astrônomo italiano nascido em Milão, Ducado de Milão Império dos Habsburgos, hoje Itália, professor da Universidade de Bologna, inventor do método dos indivisíveis (1635) iniciando uma nova era para a geometria e abrindo o caminho para a introdução do cálculo integral. Entrou para a ordem jesuíta em Milão (1615) e transferiu-se para o monastério de Pisa (1616), onde se interessou por matemática após conhecer Galileu através do Cardeal Federico Borromeo. Orientado por Benedetto Castelli, lecturer em matemática da Universidade de Pisa. Tornou-se assistente do Cardeal Federico Borromeo no monastério de Milão (1621). depois de ensinar teologia tornou-se prior de São Pedro, em Lodi (1623). Após três anos em Lodi, ele foi para o monastério de Parma, foi nomeado para cadeira de matemática em Bologna (1629), quando já estava desenvolvendo a famosa teoria dos indivisíveis, que apresentou no seu Geometria indivisibilis continuorum nova (1635). Essa teoria, depois de muitos séculos, desde os tempos de Arquimedes, simplificava o cálculo de áreas e volumes de várias figuras geométricas. Também foi responsável pela introduçào na Itália, do logarítmo de funções trigonométricas para o emprego em cálculos sobre astronomia, com o livro Directorium Generale Uranometricum. Também escreveu sobre seções cônicas, trigonometria, ótica, astronomia e astrologia. Correspondeu-se centenas de vezes com muitos matemáticos da época como Galileu, Mersènne, Renieri, Rocca, Torricelli e Viviani. Seu último livro foi Trattato della ruota planetaria perpetua (1646), seu mais famoso discípulo foi Stefano degli Angeli e faleceu em Bologna, Estados Papais, hoje Itália.

Fonte :http://www.netsaber.com.br/biografias/ver_biografia_c_2006.html

Seção da Esfera

Seção da Esfera

Toda seção plana de uma esfera é um círculo.

Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção, vale a relação


Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo máximo da esfera.



Área da esfera

A área de uma superfície esférica de raio r é igual a 4r².

A = 4r²

Volume da esfera

Aplicação

Uma esfera é secionada por um plano a 8cm do centro; a seção obtida tem área 36cm2.

Determinar a área da superfície da esfera e seu volume.

Solução:
Inicialmente, devemos considerar a área da seção:

36 = . s² →s = 6cm

s² = r² - d^2→ 6² = r² - 8² r = 10cm

A = 4r² = 4 . 10² →A = 400cm2

Volume da esfera

Fonte : http://www.colegioweb.com.br/matematica/secao-da-esfera.html

Desafio

Uma garrafa cheia de mel "pesa" 650 g. Essa mesma garrafa cheia de vinho "pesa" 350 g. Se o vinho é três vezes mais leve que o mel, então o "peso" em gramas, da garrafa vazia é :

a) 200

b) 250

c) 300

d) 310

e) 320


Resposta : a

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Teorema de Tales

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fonte :Matemática Pensar e descobrir . O + Novo

Apótema

Considerando um círculo e um polígono inscrito de n lados, definimos como apótema de uma figura poligonal o segmento de reta que parte do centro da figura formando com o lado um ângulo de 90º, isto é, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono.

A determinação da medida do apótema de um polígono está diretamente ligada ao raio da circunferência em que ele está inscrito, ao valor do ângulo central e à medida do lado do triângulo que forma o polígono. A figura a seguir é um hexágono regular inscrito na circunferência de raio medindo 4 cm. Vamos determinar a medida do apótema desse hexágono.

No hexágono regular inscrito na circunferência, a medida do raio r da circunferência é igual à medida do lado do polígono. Dessa forma, temos que o lado medirá 4 cm. Observando o hexágono notamos que ele é formado por 6 triângulos, todos com o apótema de mesmo valor, então basta destacarmos um deles e trabalharmos as relações existentes.

Podemos aplicar a relação de Pitágoras, basta calcular a medida do apótema:

a² + 2² = 4²
a² + 4 = 16
a² = 16 – 4
a² = 12
√a² = √12
a = 2√3 cm


Exemplo 2

Determine o apótema do quadrado inscrito na circunferência e a medida do raio, sabendo que o lado do quadrado mede 10 cm.

Podemos trabalhar com o seguinte triângulo retângulo:

Determinando o apótema através da tangente do ângulo de 45º (360º : 8).

tg 45º = 5/a
1 = 5/a
a = 5 cm

Determinando o raio através do Teorema de Pitágoras:

r² = a² + 5²
r² = 5² + 5²
r² = 25 + 25
r² = 50
√r² = √50
r = 5√2 cm

Exemplo 3

Determine a medida do apótema da pirâmide a seguir, sabendo que sua altura mede 4,8 cm e o apótema da base mede 3,6 cm.

Resolução:
O apótema de uma pirâmide é o segmento que parte do vértice até a base da lateral, formando um ângulo reto, isto é, a medida da altura da face lateral.

a² = 3,6² + 4,8²
a² = 12,96 + 23,04
a² = 36
√a² = √36
a = 6 cm